До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.41

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність a+a2+2a2+3a+1a2−1−a3+2aa−1=−1a + a^2 + \frac{2a^2 + 3a + 1}{a^2 - 1} - \frac{a^3 + 2a}{a - 1} = -1.

Короткий розв'язок

(a+a2)(a2−1)a2−1+2a2+3a+1a2−1−(a3+2a)(a+1)a2−1= \frac{(a+a^2)(a^2-1)}{a^2-1} + \frac{2a^2+3a+1}{a^2-1} - \frac{(a^3+2a)(a+1)}{a^2-1} =
=a3−a+a4−a2+2a2+3a+1−(a4+a3+2a2+2a)a2−1= = \frac{a^3-a+a^4-a^2 + 2a^2+3a+1 - (a^4+a^3+2a^2+2a)}{a^2-1} =
=a4+a3−a2−a+2a2+3a+1−a4−a3−2a2−2aa2−1= = \frac{a^4+a^3-a^2-a + 2a^2+3a+1 - a^4-a^3-2a^2-2a}{a^2-1} =
=−a2+1a2−1=−(a2−1)a2−1=−1 = \frac{-a^2+1}{a^2-1} = \frac{-(a^2-1)}{a^2-1} = -1

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай складнішої) і звести її до вигляду іншої частини. У цьому випадку ми перетворимо ліву частину, звівши всі доданки до спільного знаменника, а потім спростимо отриманий вираз. Важливо пам'ятати про основну властивість дробу та формули скороченого множення.

Перетворимо ліву частину тотожності. Спільним знаменником є a2−1=(a−1)(a+1)a^2 - 1 = (a-1)(a+1). Зведемо всі доданки до цього знаменника.

a+a2+2a2+3a+1a2−1−a3+2aa−1= a + a^2 + \frac{2a^2 + 3a + 1}{a^2 - 1} - \frac{a^3 + 2a}{a - 1} =
=(a+a2)(a2−1)a2−1+2a2+3a+1a2−1−(a3+2a)(a+1)a2−1 = \frac{(a+a^2)(a^2-1)}{a^2-1} + \frac{2a^2+3a+1}{a^2-1} - \frac{(a^3+2a)(a+1)}{a^2-1}

Тепер запишемо все під спільним знаменником.

=(a+a2)(a2−1)+(2a2+3a+1)−(a3+2a)(a+1)a2−1 = \frac{(a+a^2)(a^2-1) + (2a^2+3a+1) - (a^3+2a)(a+1)}{a^2-1}

Розкриємо дужки в чисельнику.

(a+a2)(a2−1)=a3−a+a4−a2 (a+a^2)(a^2-1) = a^3-a+a^4-a^2
(a3+2a)(a+1)=a4+a3+2a2+2a (a^3+2a)(a+1) = a^4+a^3+2a^2+2a

Підставимо розкриті вирази назад у чисельник.

=(a4+a3−a2−a)+(2a2+3a+1)−(a4+a3+2a2+2a)a2−1= = \frac{(a^4+a^3-a^2-a) + (2a^2+3a+1) - (a^4+a^3+2a^2+2a)}{a^2-1} =
=a4+a3−a2−a+2a2+3a+1−a4−a3−2a2−2aa2−1 = \frac{a^4+a^3-a^2-a+2a^2+3a+1-a^4-a^3-2a^2-2a}{a^2-1}

Зведемо подібні доданки в чисельнику.

=(a4−a4)+(a3−a3)+(−a2+2a2−2a2)+(−a+3a−2a)+1a2−1= = \frac{(a^4-a^4) + (a^3-a^3) + (-a^2+2a^2-2a^2) + (-a+3a-2a) + 1}{a^2-1} =
=−a2+1a2−1 = \frac{-a^2 + 1}{a^2 - 1}

Винесемо знак мінус за дужки в чисельнику.

=−(a2−1)a2−1=−1 = \frac{-(a^2 - 1)}{a^2 - 1} = -1

Ми отримали, що ліва частина тотожності дорівнює -1, що відповідає правій частині. Отже, тотожність доведено.

Відповідь: Тотожність доведено.