ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.41

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність $a + a^2 + \frac{2a^2 + 3a + 1}{a^2 - 1} - \frac{a^3 + 2a}{a - 1} = -1$.

Короткий розв'язок

$$ \frac{(a+a^2)(a^2-1)}{a^2-1} + \frac{2a^2+3a+1}{a^2-1} - \frac{(a^3+2a)(a+1)}{a^2-1} = $$

$$ = \frac{a^3-a+a^4-a^2 + 2a^2+3a+1 - (a^4+a^3+2a^2+2a)}{a^2-1} = $$

$$ = \frac{a^4+a^3-a^2-a + 2a^2+3a+1 - a^4-a^3-2a^2-2a}{a^2-1} = $$

$$ = \frac{-a^2+1}{a^2-1} = \frac{-(a^2-1)}{a^2-1} = -1 $$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай складнішої) і звести її до вигляду іншої частини. У цьому випадку ми перетворимо ліву частину, звівши всі доданки до спільного знаменника, а потім спростимо отриманий вираз. Важливо пам'ятати про основну властивість дробу та формули скороченого множення.

Перетворимо ліву частину тотожності. Спільним знаменником є $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$. Зведемо всі доданки до цього знаменника.

$$ a + a^2 + \frac{2a^2 + 3a + 1}{a^2 - 1} - \frac{a^3 + 2a}{a - 1} = $$

$$ = \frac{(a+a^2)(a^2-1)}{a^2-1} + \frac{2a^2+3a+1}{a^2-1} - \frac{(a^3+2a)(a+1)}{a^2-1} $$

Тепер запишемо все під спільним знаменником.

$$ = \frac{(a+a^2)(a^2-1) + (2a^2+3a+1) - (a^3+2a)(a+1)}{a^2-1} $$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$$ (a+a^2)(a^2-1) = a^3-a+a^4-a^2 $$

$$ (a^3+2a)(a+1) = a^4+a^3+2a^2+2a $$

Підставимо розкриті вирази назад у чисельник.

$$ = \frac{(a^4+a^3-a^2-a) + (2a^2+3a+1) - (a^4+a^3+2a^2+2a)}{a^2-1} = $$

$$ = \frac{a^4+a^3-a^2-a+2a^2+3a+1-a^4-a^3-2a^2-2a}{a^2-1} $$

Зведемо подібні доданки в чисельнику.