Відкрити меню

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.44

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть значення виразу

$\frac{x + 0,2y}{4x^2 - 0,8xy} - \frac{12,5x}{12,5x^2 - 0,5y^2} - \frac{x - 0,2y}{4x^2 + 0,8xy}$,

якщо $x = -10$, $y = 49$.

Короткий розв'язок

$$\frac{x+0,2y}{4x(x-0,2y)} - \frac{12,5x}{12,5(x^2-0,04y^2)} - \frac{x-0,2y}{4x(x+0,2y)} =$$
$$= \frac{x+0,2y}{4x(x-0,2y)} - \frac{x}{(x-0,2y)(x+0,2y)} - \frac{x-0,2y}{4x(x+0,2y)} =$$
$$= \frac{(x+0,2y)^2 - 4x^2 - (x-0,2y)^2}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$
$$= \frac{0,8xy-4x^2}{4x(x^2-0,04y^2)} = \frac{4x(0,2y-x)}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$
$$= \frac{-(x-0,2y)}{(x-0,2y)(x+0,2y)} = -\frac{1}{x+0,2y}$$

Якщо $x=-10$ і $y=49$, то:

$$-\frac{1}{-10+0,2 \cdot 49} = -\frac{1}{-10+9,8} = -\frac{1}{-0,2} = 5$$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб уникнути складних обчислень з десятковими дробами та великими числами, першочергово спростимо даний вираз. Для цього розкладемо знаменники на множники, використовуючи методи винесення спільного множника за дужки та формулу різниці квадратів. Потім зведемо дроби до спільного знаменника та виконаємо необхідні алгебраїчні перетворення.

1. Розкладемо знаменники кожного дробу на множники.

$$4x^2 - 0,8xy = 4x(x - 0,2y)$$
$$12,5x^2 - 0,5y^2 = 12,5(x^2 - 0,04y^2) =$$
$$= 12,5(x - 0,2y)(x + 0,2y)$$
$$4x^2 + 0,8xy = 4x(x + 0,2y)$$

Тепер підставимо розкладені знаменники назад у вираз і скоротимо другий дріб.

$$\frac{x+0,2y}{4x(x-0,2y)} - \frac{12,5x}{12,5(x-0,2y)(x+0,2y)} - \frac{x-0,2y}{4x(x+0,2y)} =$$
$$= \frac{x+0,2y}{4x(x-0,2y)} - \frac{x}{(x-0,2y)(x+0,2y)} - \frac{x-0,2y}{4x(x+0,2y)}$$

Спільним знаменником є $4x(x-0,2y)(x+0,2y)$.

2. Зведемо дроби до спільного знаменника.

$$\frac{(x+0,2y)(x+0,2y)}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} -$$
$$- \frac{x \cdot 4x}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} - \frac{(x-0,2y)(x-0,2y)}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$

Запишемо все під спільною рискою дробу.

$$= \frac{(x+0,2y)^2 - 4x^2 - (x-0,2y)^2}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$

Розкриємо дужки в чисельнику, використовуючи формули квадрата суми та квадрата різниці.

$$= \frac{(x^2+0,4xy+0,04y^2) - 4x^2 - (x^2-0,4xy+0,04y^2)}{4x(x^2-0,04y^2)} =$$

Зведемо подібні доданки в чисельнику.

$$= \frac{x^2+0,4xy+0,04y^2 - 4x^2 - x^2+0,4xy-0,04y^2}{4x(x^2-0,04y^2)} =$$
$$= \frac{0,8xy - 4x^2}{4x(x^2-0,04y^2)}$$

Винесемо $4x$ за дужки в чисельнику.

$$= \frac{4x(0,2y - x)}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$

Скоротимо дріб на $4x$.

$$= \frac{0,2y - x}{(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$

Винесемо знак мінус у чисельнику, щоб скоротити дріб ще раз.

$$= \frac{-(x - 0,2y)}{(x-0,2y)(x+0,2y)} =$$
$$= -\frac{1}{x+0,2y}$$

3. Підставимо значення $x = -10$ та $y = 49$ у спрощений вираз.

$$-\frac{1}{-10 + 0,2 \cdot 49} =$$
$$= -\frac{1}{-10 + 9,8} =$$
$$= -\frac{1}{-0,2} =$$
$$= 5$$

Відповідь: 5.

реклама

Дивись гдз з предметів для 8 класу