ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.38

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Перетворіть вираз на дріб:

1) $\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 + xy + y^2}{(x + y)^2}$;

2) $\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{(x + 2)^2}$.

Короткий розв'язок

$$ 1) \frac{(x^2-xy+y^2)(x+y) + (x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x+y)^2} = $$

$$ = \frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x^3}{(x-y)(x+y)^2} $$

$$ 2) \frac{(x+2)^2 - 2(x-2)(x+2) + (x-2)^2}{((x-2)(x+2))^2} = $$

$$ = \frac{x^2+4x+4 - 2(x^2-4) + x^2-4x+4}{(x^2-4)^2} = $$

$$ = \frac{2x^2+8-2x^2+8}{(x^2-4)^2} = \frac{16}{(x^2-4)^2} $$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб перетворити вирази, ми зводимо дроби до спільного знаменника. Це вимагає розкладання знаменників на множники за допомогою формул скороченого множення, зокрема різниці квадратів. Після знаходження спільного знаменника, ми виконуємо дії в чисельнику, використовуючи формули суми та різниці кубів.

1) Перетворимо вираз $\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 + xy + y^2}{(x + y)^2}$.

Знаменник першого дробу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Спільний знаменник: $(x-y)(x+y)^2$.

$$ \frac{(x^2-xy+y^2)(x+y) + (x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x+y)^2} = $$

Застосуємо формули суми та різниці кубів у чисельнику.

$$ = \frac{(x^3+y^3) + (x^3-y^3)}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x^3}{(x-y)(x+y)^2} $$

2) Перетворимо вираз $\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{(x + 2)^2}$.

Знаменник середнього дробу $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Спільний знаменник: $(x-2)^2(x+2)^2 = (x^2-4)^2$.

$$ \frac{1(x+2)^2 - 2(x-2)(x+2) + 1(x-2)^2}{((x-2)(x+2))^2} = $$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$$ = \frac{(x^2+4x+4) - 2(x^2-4) + (x^2-4x+4)}{(x^2-4)^2} = $$

$$ = \frac{x^2+4x+4 - 2x^2+8 + x^2-4x+4}{(x^2-4)^2} = $$

Зведемо подібні доданки.