До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.38

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Перетворіть вираз на дріб:

1) x2−xy+y2x2−y2+x2+xy+y2(x+y)2\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 + xy + y^2}{(x + y)^2};

2) 1(x−2)2−2x2−4+1(x+2)2\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{(x + 2)^2}.

Короткий розв'язок

1)(x2−xy+y2)(x+y)+(x2+xy+y2)(x−y)(x−y)(x+y)2= 1) \frac{(x^2-xy+y^2)(x+y) + (x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x+y)^2} =
=x3+y3+x3−y3(x−y)(x+y)2=2x3(x−y)(x+y)2 = \frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x^3}{(x-y)(x+y)^2}
2)(x+2)2−2(x−2)(x+2)+(x−2)2((x−2)(x+2))2= 2) \frac{(x+2)^2 - 2(x-2)(x+2) + (x-2)^2}{((x-2)(x+2))^2} =
=x2+4x+4−2(x2−4)+x2−4x+4(x2−4)2= = \frac{x^2+4x+4 - 2(x^2-4) + x^2-4x+4}{(x^2-4)^2} =
=2x2+8−2x2+8(x2−4)2=16(x2−4)2 = \frac{2x^2+8-2x^2+8}{(x^2-4)^2} = \frac{16}{(x^2-4)^2}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб перетворити вирази, ми зводимо дроби до спільного знаменника. Це вимагає розкладання знаменників на множники за допомогою формул скороченого множення, зокрема різниці квадратів. Після знаходження спільного знаменника, ми виконуємо дії в чисельнику, використовуючи формули суми та різниці кубів.

1) Перетворимо вираз x2−xy+y2x2−y2+x2+xy+y2(x+y)2\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 + xy + y^2}{(x + y)^2}.

Знаменник першого дробу x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y). Спільний знаменник: (x−y)(x+y)2(x-y)(x+y)^2.

(x2−xy+y2)(x+y)+(x2+xy+y2)(x−y)(x−y)(x+y)2= \frac{(x^2-xy+y^2)(x+y) + (x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x+y)^2} =

Застосуємо формули суми та різниці кубів у чисельнику.

=(x3+y3)+(x3−y3)(x−y)(x+y)2=2x3(x−y)(x+y)2 = \frac{(x^3+y^3) + (x^3-y^3)}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x^3}{(x-y)(x+y)^2}

2) Перетворимо вираз 1(x−2)2−2x2−4+1(x+2)2\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{(x + 2)^2}.

Знаменник середнього дробу x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2). Спільний знаменник: (x−2)2(x+2)2=(x2−4)2(x-2)^2(x+2)^2 = (x^2-4)^2.

1(x+2)2−2(x−2)(x+2)+1(x−2)2((x−2)(x+2))2= \frac{1(x+2)^2 - 2(x-2)(x+2) + 1(x-2)^2}{((x-2)(x+2))^2} =

Розкриємо дужки в чисельнику.

=(x2+4x+4)−2(x2−4)+(x2−4x+4)(x2−4)2= = \frac{(x^2+4x+4) - 2(x^2-4) + (x^2-4x+4)}{(x^2-4)^2} =
=x2+4x+4−2x2+8+x2−4x+4(x2−4)2= = \frac{x^2+4x+4 - 2x^2+8 + x^2-4x+4}{(x^2-4)^2} =

Зведемо подібні доданки.

=(x2−2x2+x2)+(4x−4x)+(4+8+4)(x2−4)2=16(x2−4)2 = \frac{(x^2-2x^2+x^2) + (4x-4x) + (4+8+4)}{(x^2-4)^2} = \frac{16}{(x^2-4)^2}

Відповідь: 1) 2x3(x−y)(x+y)2\frac{2x^3}{(x-y)(x+y)^2}; 2) 16(x2−4)2\frac{16}{(x^2-4)^2}.