До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.45

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Чи існує таке значення x, для якого значення виразу

12−x−12+x−x4−x2+x2+42x3−8x\frac{1}{2-x} - \frac{1}{2+x} - \frac{x}{4-x^2} + \frac{x^2+4}{2x^3-8x}

дорівнює нулю?

Короткий розв'язок

12−x−12+x−x4−x2+x2+42x(x2−4)=\frac{1}{2-x} - \frac{1}{2+x} - \frac{x}{4-x^2} + \frac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =
=−1x−2−1x+2+xx2−4+x2+42x(x2−4)== -\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} + \frac{x}{x^2-4} + \frac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =
=−2x(x+2)−2x(x−2)+2x2+(x2+4)2x(x−2)(x+2)== \frac{-2x(x+2) - 2x(x-2) + 2x^2 + (x^2+4)}{2x(x-2)(x+2)} =
=−2x2−4x−2x2+4x+2x2+x2+42x(x2−4)== \frac{-2x^2-4x - 2x^2+4x + 2x^2 + x^2+4}{2x(x^2-4)} =
=−x2+42x(x2−4)=−(x2−4)2x(x2−4)=−12x= \frac{-x^2+4}{2x(x^2-4)} = \frac{-(x^2-4)}{2x(x^2-4)} = -\frac{1}{2x}

Рівняння −12x=0-\frac{1}{2x}=0 не має розв'язків, оскільки чисельник ніколи не дорівнює нулю. Отже, таких значень xx не існує.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб відповісти на питання, потрібно прирівняти вираз до нуля і розв'язати отримане раціональне рівняння. Першим кроком є спрощення виразу шляхом зведення всіх дробів до спільного знаменника. Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

1. Перетворимо вираз, звівши дроби до спільного знаменника. Для цього спочатку розкладемо знаменники на множники та уніфікуємо їх.

1−(x−2)−1x+2−x−(x2−4)+x2+42x(x2−4)=\frac{1}{-(x-2)} - \frac{1}{x+2} - \frac{x}{-(x^2-4)} + \frac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =
=−1x−2−1x+2+x(x−2)(x+2)+x2+42x(x−2)(x+2)= -\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} + \frac{x}{(x-2)(x+2)} + \frac{x^2+4}{2x(x-2)(x+2)}

Область допустимих значень (ОДЗ): x≠0x \neq 0, x≠2x \neq 2, x≠−2x \neq -2.

Спільний знаменник: 2x(x−2)(x+2)2x(x-2)(x+2).

2. Зведемо дроби до спільного знаменника.

−1⋅2x(x+2)2x(x−2)(x+2)−1⋅2x(x−2)2x(x−2)(x+2)+\frac{-1 \cdot 2x(x+2)}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot 2x(x-2)}{2x(x-2)(x+2)} +
+x⋅2x2x(x−2)(x+2)+x2+42x(x−2)(x+2)=+ \frac{x \cdot 2x}{2x(x-2)(x+2)} + \frac{x^2+4}{2x(x-2)(x+2)} =

Запишемо все під однією рискою дробу.

=−2x(x+2)−2x(x−2)+2x2+x2+42x(x−2)(x+2)== \frac{-2x(x+2) - 2x(x-2) + 2x^2 + x^2+4}{2x(x-2)(x+2)} =

Розкриємо дужки в чисельнику.

=−2x2−4x−2x2+4x+2x2+x2+42x(x2−4)== \frac{-2x^2 - 4x - 2x^2 + 4x + 2x^2 + x^2 + 4}{2x(x^2-4)} =

Зведемо подібні доданки.

=(−2−2+2+1)x2+(−4+4)x+42x(x2−4)== \frac{(-2-2+2+1)x^2 + (-4+4)x + 4}{2x(x^2-4)} =
=−x2+42x(x2−4)= \frac{-x^2 + 4}{2x(x^2-4)}

Винесемо мінус за дужки в чисельнику.

=−(x2−4)2x(x2−4)== \frac{-(x^2 - 4)}{2x(x^2 - 4)} =

Скоротимо дріб на (x2−4)(x^2-4).

=−12x= -\frac{1}{2x}

3. Тепер прирівняємо спрощений вираз до нуля, щоб знайти шукане значення xx.

−12x=0-\frac{1}{2x} = 0

Це рівняння не має розв'язків, оскільки дріб дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю. У нашому випадку чисельник дорівнює -1, що не є нулем. Тому не існує такого значення xx, при якому вираз дорівнював би нулю.

Відповідь: Ні, такого значення xx не існує.