ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.45

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Чи існує таке значення x, для якого значення виразу

$\frac{1}{2-x} - \frac{1}{2+x} - \frac{x}{4-x^2} + \frac{x^2+4}{2x^3-8x}$

дорівнює нулю?

Короткий розв'язок

$$\frac{1}{2-x} - \frac{1}{2+x} - \frac{x}{4-x^2} + \frac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =$$

$$= -\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} + \frac{x}{x^2-4} + \frac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =$$

$$= \frac{-2x(x+2) - 2x(x-2) + 2x^2 + (x^2+4)}{2x(x-2)(x+2)} =$$

$$= \frac{-2x^2-4x - 2x^2+4x + 2x^2 + x^2+4}{2x(x^2-4)} =$$

$$= \frac{-x^2+4}{2x(x^2-4)} = \frac{-(x^2-4)}{2x(x^2-4)} = -\frac{1}{2x}$$

Рівняння $-\frac{1}{2x}=0$ не має розв'язків, оскільки чисельник ніколи не дорівнює нулю. Отже, таких значень $x$ не існує.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб відповісти на питання, потрібно прирівняти вираз до нуля і розв'язати отримане раціональне рівняння. Першим кроком є спрощення виразу шляхом зведення всіх дробів до спільного знаменника. Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

1. Перетворимо вираз, звівши дроби до спільного знаменника. Для цього спочатку розкладемо знаменники на множники та уніфікуємо їх.

$$\frac{1}{-(x-2)} - \frac{1}{x+2} - \frac{x}{-(x^2-4)} + \frac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =$$

$$= -\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} + \frac{x}{(x-2)(x+2)} + \frac{x^2+4}{2x(x-2)(x+2)}$$

Область допустимих значень (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Спільний знаменник: $2x(x-2)(x+2)$.

2. Зведемо дроби до спільного знаменника.

$$\frac{-1 \cdot 2x(x+2)}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot 2x(x-2)}{2x(x-2)(x+2)} +$$

$$+ \frac{x \cdot 2x}{2x(x-2)(x+2)} + \frac{x^2+4}{2x(x-2)(x+2)} =$$

Запишемо все під однією рискою дробу.

$$= \frac{-2x(x+2) - 2x(x-2) + 2x^2 + x^2+4}{2x(x-2)(x+2)} =$$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$$= \frac{-2x^2 - 4x - 2x^2 + 4x + 2x^2 + x^2 + 4}{2x(x^2-4)} =$$

Зведемо подібні доданки.

$$= \frac{(-2-2+2+1)x^2 + (-4+4)x + 4}{2x(x^2-4)} =$$

$$= \frac{-x^2 + 4}{2x(x^2-4)}$$

Винесемо мінус за дужки в чисельнику.

$$= \frac{-(x^2 - 4)}{2x(x^2 - 4)} =$$

Скоротимо дріб на $(x^2-4)$.

$$= -\frac{1}{2x}$$

3. Тепер прирівняємо спрощений вираз до нуля, щоб знайти шукане значення $x$.

$$-\frac{1}{2x} = 0$$

Це рівняння не має розв'язків, оскільки дріб дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю. У нашому випадку чисельник дорівнює -1, що не є нулем. Тому не існує такого значення $x$, при якому вираз дорівнював би нулю.

Відповідь: Ні, такого значення $x$ не існує.