ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.52
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Для шкільної актової зали придбали люстру на 31 лампочку. Адміністрація школи хоче мати можливість умикати будь-яку їх кількість, від 1 до 31. Яка найменша кількість звичайних вимикачів для цього знадобиться?
Короткий розв'язок
Потрібно знайти найменший степінь двійки, що не менший за 31. Це $2^5 = 32$. Отже, потрібно 5 вимикачів. Вони будуть керувати групами лампочок: 1, 2, 4, 8, 16. Комбінуючи їх, можна отримати будь-яке число від 1 до 31.
Відповідь: 5 вимикачів.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Ця задача пов'язана з двійковою системою числення. Будь-яке ціле число можна подати у вигляді суми степенів двійки. Якщо кожен вимикач буде керувати групою лампочок, кількість яких дорівнює степеню двійки (1, 2, 4, 8, ...), то, вмикаючи різні комбінації вимикачів, можна отримати будь-яку потрібну кількість увімкнених лампочок.
Нам потрібно мати можливість вмикати будь-яку кількість лампочок від 1 до 31. Давайте подумаємо, як це можна організувати за допомогою найменшої кількості вимикачів.
Розділимо 31 лампочку на групи, якими керуватиме кожен окремий вимикач.
- 1-й вимикач: керує 1 лампочкою.
- 2-й вимикач: керує 2 лампочками.
- 3-й вимикач: керує 4 лампочками.
- 4-й вимикач: керує 8 лампочками.
- 5-й вимикач: керує 16 лампочками.
Сума лампочок у цих групах: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$.
Тепер перевіримо, чи можемо ми отримати будь-яке число від 1 до 31:
- Щоб увімкнути 1 лампочку: вмикаємо 1-й вимикач (група з 1 лампочки).
- Щоб увімкнути 2 лампочки: вмикаємо 2-й вимикач (група з 2 лампочок).
- Щоб увімкнути 3 лампочки: вмикаємо 1-й і 2-й вимикачі ($1+2=3$).
- Щоб увімкнути 5 лампочок: вмикаємо 1-й і 3-й вимикачі ($1+4=5$).
- Щоб увімкнути 7 лампочок: вмикаємо 1-й, 2-й і 3-й вимикачі ($1+2+4=7$).
І так далі. Будь-яке число від 1 до 31 можна подати у вигляді унікальної суми чисел 1, 2, 4, 8, 16. Це є основою двійкової системи числення. Наприклад, число 31 - це $16+8+4+2+1$.
Отже, нам знадобиться 5 вимикачів, які керуватимуть групами з 1, 2, 4, 8 та 16 лампочок відповідно. Якщо б ми взяли 4 вимикачі, то максимальна кількість лампочок, яку ми могли б увімкнути, була б $1+2+4+8 = 15$, що недостатньо.
Відповідь: 5 вимикачів.
