До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.23

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) (25x28y3)3⋅(−16y5125x3)2(\frac{25x^2}{8y^3})^3 \cdot (-\frac{16y^5}{125x^3})^2;

2) x2−2xy+y2x2+2xy+y2⋅(x+yx−y)3\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \cdot (\frac{x+y}{x-y})^3.

Короткий розв'язок

1) (52)3(x2)3(23)3(y3)3⋅(24)2(y5)2(53)2(x3)2=56x629y9⋅28y1056x6=y2\frac{(5^2)^3(x^2)^3}{(2^3)^3(y^3)^3} \cdot \frac{(2^4)^2(y^5)^2}{(5^3)^2(x^3)^2} = \frac{5^6x^6}{2^9y^9} \cdot \frac{2^8y^{10}}{5^6x^6} = \frac{y}{2}

2) (x−y)2(x+y)2⋅(x+y)3(x−y)3=x+yx−y\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)^3}{(x-y)^3} = \frac{x+y}{x-y}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Спочатку необхідно піднести дроби до степеня, використовуючи властивості степеня. Потім виконати множення отриманих дробів та скоротити їх.

1) (25x28y3)3⋅(−16y5125x3)2(\frac{25x^2}{8y^3})^3 \cdot (-\frac{16y^5}{125x^3})^2

Підносимо кожен множник у дробах до відповідного степеня. Знак "мінус" зникає, оскільки він підноситься до парного степеня (квадрату).

=253⋅(x2)383⋅(y3)3⋅162⋅(y5)21252⋅(x3)2== \frac{25^3 \cdot (x^2)^3}{8^3 \cdot (y^3)^3} \cdot \frac{16^2 \cdot (y^5)^2}{125^2 \cdot (x^3)^2} =

Представимо числові коефіцієнти у вигляді степенів для зручності скорочення.

=(52)3⋅x2⋅3(23)3⋅y3⋅3⋅(24)2⋅y5⋅2(53)2⋅x3⋅2== \frac{(5^2)^3 \cdot x^{2 \cdot 3}}{(2^3)^3 \cdot y^{3 \cdot 3}} \cdot \frac{(2^4)^2 \cdot y^{5 \cdot 2}}{(5^3)^2 \cdot x^{3 \cdot 2}} =
=56x629y9⋅28y1056x6== \frac{5^6 x^6}{2^9 y^9} \cdot \frac{2^8 y^{10}}{5^6 x^6} =

Перемножимо чисельники та знаменники і скоротимо однакові множники (565^6 та x6x^6).

=56⋅28⋅x6⋅y1029⋅56⋅y9⋅x6== \frac{5^6 \cdot 2^8 \cdot x^6 \cdot y^{10}}{2^9 \cdot 5^6 \cdot y^9 \cdot x^6} =

Застосуємо властивості степенів для yy та 22.

=y10−929−8=y121=y2= \frac{y^{10-9}}{2^{9-8}} = \frac{y^1}{2^1} = \frac{y}{2}

2) x2−2xy+y2x2+2xy+y2⋅(x+yx−y)3\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \cdot (\frac{x+y}{x-y})^3

Використовуємо формули квадрата різниці та квадрата суми.

=(x−y)2(x+y)2⋅(x+y)3(x−y)3== \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)^3}{(x-y)^3} =

Скорочуємо дроби.

=(x−y)2⋅(x+y)2⋅(x+y)(x+y)2⋅(x−y)2⋅(x−y)== \frac{(x-y)^2 \cdot (x+y)^2 \cdot (x+y)}{(x+y)^2 \cdot (x-y)^2 \cdot (x-y)} =
=x+yx−y= \frac{x+y}{x-y}