ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.23

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) $(\frac{25x^2}{8y^3})^3 \cdot (-\frac{16y^5}{125x^3})^2$;

2) $\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \cdot (\frac{x+y}{x-y})^3$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{(5^2)^3(x^2)^3}{(2^3)^3(y^3)^3} \cdot \frac{(2^4)^2(y^5)^2}{(5^3)^2(x^3)^2} = \frac{5^6x^6}{2^9y^9} \cdot \frac{2^8y^{10}}{5^6x^6} = \frac{y}{2}$

2) $\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)^3}{(x-y)^3} = \frac{x+y}{x-y}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Спочатку необхідно піднести дроби до степеня, використовуючи властивості степеня. Потім виконати множення отриманих дробів та скоротити їх.

1) $(\frac{25x^2}{8y^3})^3 \cdot (-\frac{16y^5}{125x^3})^2$

Підносимо кожен множник у дробах до відповідного степеня. Знак "мінус" зникає, оскільки він підноситься до парного степеня (квадрату).

$$= \frac{25^3 \cdot (x^2)^3}{8^3 \cdot (y^3)^3} \cdot \frac{16^2 \cdot (y^5)^2}{125^2 \cdot (x^3)^2} =$$

Представимо числові коефіцієнти у вигляді степенів для зручності скорочення.

$$= \frac{(5^2)^3 \cdot x^{2 \cdot 3}}{(2^3)^3 \cdot y^{3 \cdot 3}} \cdot \frac{(2^4)^2 \cdot y^{5 \cdot 2}}{(5^3)^2 \cdot x^{3 \cdot 2}} =$$

$$= \frac{5^6 x^6}{2^9 y^9} \cdot \frac{2^8 y^{10}}{5^6 x^6} =$$

Перемножимо чисельники та знаменники і скоротимо однакові множники ($5^6$ та $x^6$).

$$= \frac{5^6 \cdot 2^8 \cdot x^6 \cdot y^{10}}{2^9 \cdot 5^6 \cdot y^9 \cdot x^6} =$$

Застосуємо властивості степенів для $y$ та $2$.

$$= \frac{y^{10-9}}{2^{9-8}} = \frac{y^1}{2^1} = \frac{y}{2}$$

2) $\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \cdot (\frac{x+y}{x-y})^3$

Використовуємо формули квадрата різниці та квадрата суми.