ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.19

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть добуток:

1) $\frac{m^2-4m+4}{m^2+6m+9} \cdot \frac{m^2-9}{3m-6}$;

2) $-\frac{x^2-10x+25}{x^2-3x+9} \cdot \frac{x^3+27}{25-x^2}$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{(m-2)^2}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m-3)(m+3)}{3(m-2)} = \frac{(m-2)(m-3)}{3(m+3)}$

2) $-\frac{(x-5)^2}{x^2-3x+9} \cdot \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{-(x-5)(x+5)} = \frac{(x-5)(x+3)}{x+5}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для знаходження добутку необхідно розкласти чисельники і знаменники на множники, використовуючи формули скороченого множення, а потім скоротити однакові множники. Важливо згадати, як розкладається квадратний тричлен.

1) $\frac{m^2-4m+4}{m^2+6m+9} \cdot \frac{m^2-9}{3m-6}$

Застосуємо формули квадрата різниці, квадрата суми та різниці квадратів.

$$= \frac{(m-2)^2}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m-3)(m+3)}{3(m-2)} =$$

$$= \frac{(m-2)(m-2)(m-3)(m+3)}{(m+3)(m+3) \cdot 3(m-2)} =$$

$$= \frac{(m-2)(m-3)}{3(m+3)}$$

2) $-\frac{x^2-10x+25}{x^2-3x+9} \cdot \frac{x^3+27}{25-x^2}$

Застосуємо формули квадрата різниці, суми кубів та різниці квадратів.

$$= -\frac{(x-5)^2}{x^2-3x+9} \cdot \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{(5-x)(5+x)} =$$

Зауважимо, що $5-x = -(x-5)$.

$$= -\frac{(x-5)^2(x+3)(x^2-3x+9)}{(x^2-3x+9) \cdot (-(x-5))(x+5)} =$$

Мінуси в чисельнику і знаменнику скорочуються.

$$= \frac{(x-5)(x-5)(x+3)}{(x-5)(x+5)} =$$