ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.26

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте множення:

1) $\frac{x^2+ax-cx-ca}{x^2-ax+cx-ac} \cdot \frac{x^2+ac+xc+xa}{x^2+ac-xc-xa}$;

2) $\frac{5a-5b}{3c+3y} \cdot \frac{c^2-y^2-c-y}{a^2-b^2+a-b}$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{(x-c)(x+a)}{(x+c)(x-a)} \cdot \frac{(x+a)(x+c)}{(x-a)(x-c)} = \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2}$

2) $\frac{5(a-b)}{3(c+y)} \cdot \frac{(c+y)(c-y-1)}{(a-b)(a+b+1)} = \frac{5(c-y-1)}{3(a+b+1)}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб перемножити раціональні дроби, потрібно розкласти їх чисельники та знаменники на множники. Це часто робиться методом групування або винесенням спільного множника. Після цього скорочуємо однакові множники в чисельнику та знаменнику.

1) $\frac{x^2+ax-cx-ca}{x^2-ax+cx-ac} \cdot \frac{x^2+ac+xc+xa}{x^2+ac-xc-xa}$

Розкладемо на множники чисельники та знаменники методом групування:

$$x^2+ax-cx-ca = x(x+a)-c(x+a) = (x+a)(x-c)$$

$$x^2-ax+cx-ac = x(x-a)+c(x-a) = (x-a)(x+c)$$

$$x^2+ac+xc+xa = x(x+c)+a(c+x) = (x+a)(x+c)$$

$$x^2+ac-xc-xa = x(x-c)-a(x-c) = (x-a)(x-c)$$

Підставимо розкладені вирази у початковий дріб і виконаємо множення:

$$\frac{(x+a)(x-c)}{(x-a)(x+c)} \cdot \frac{(x+a)(x+c)}{(x-a)(x-c)} =$$

$$= \frac{(x+a)(x-c)(x+a)(x+c)}{(x-a)(x+c)(x-a)(x-c)} = \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2}$$

2) $\frac{5a-5b}{3c+3y} \cdot \frac{c^2-y^2-c-y}{a^2-b^2+a-b}$

Розкладемо на множники чисельники та знаменники:

$$5a-5b=5(a-b)$$