До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.26

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте множення:

1) x2+ax−cx−cax2−ax+cx−ac⋅x2+ac+xc+xax2+ac−xc−xa\frac{x^2+ax-cx-ca}{x^2-ax+cx-ac} \cdot \frac{x^2+ac+xc+xa}{x^2+ac-xc-xa};

2) 5a−5b3c+3y⋅c2−y2−c−ya2−b2+a−b\frac{5a-5b}{3c+3y} \cdot \frac{c^2-y^2-c-y}{a^2-b^2+a-b}.

Короткий розв'язок

1) (x−c)(x+a)(x+c)(x−a)⋅(x+a)(x+c)(x−a)(x−c)=(x+a)2(x−a)2\frac{(x-c)(x+a)}{(x+c)(x-a)} \cdot \frac{(x+a)(x+c)}{(x-a)(x-c)} = \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2}

2) 5(a−b)3(c+y)⋅(c+y)(c−y−1)(a−b)(a+b+1)=5(c−y−1)3(a+b+1)\frac{5(a-b)}{3(c+y)} \cdot \frac{(c+y)(c-y-1)}{(a-b)(a+b+1)} = \frac{5(c-y-1)}{3(a+b+1)}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб перемножити раціональні дроби, потрібно розкласти їх чисельники та знаменники на множники. Це часто робиться методом групування або винесенням спільного множника. Після цього скорочуємо однакові множники в чисельнику та знаменнику.

1) x2+ax−cx−cax2−ax+cx−ac⋅x2+ac+xc+xax2+ac−xc−xa\frac{x^2+ax-cx-ca}{x^2-ax+cx-ac} \cdot \frac{x^2+ac+xc+xa}{x^2+ac-xc-xa}

Розкладемо на множники чисельники та знаменники методом групування:

x2+ax−cx−ca=x(x+a)−c(x+a)=(x+a)(x−c)x^2+ax-cx-ca = x(x+a)-c(x+a) = (x+a)(x-c)
x2−ax+cx−ac=x(x−a)+c(x−a)=(x−a)(x+c)x^2-ax+cx-ac = x(x-a)+c(x-a) = (x-a)(x+c)
x2+ac+xc+xa=x(x+c)+a(c+x)=(x+a)(x+c)x^2+ac+xc+xa = x(x+c)+a(c+x) = (x+a)(x+c)
x2+ac−xc−xa=x(x−c)−a(x−c)=(x−a)(x−c)x^2+ac-xc-xa = x(x-c)-a(x-c) = (x-a)(x-c)

Підставимо розкладені вирази у початковий дріб і виконаємо множення:

(x+a)(x−c)(x−a)(x+c)⋅(x+a)(x+c)(x−a)(x−c)=\frac{(x+a)(x-c)}{(x-a)(x+c)} \cdot \frac{(x+a)(x+c)}{(x-a)(x-c)} =
=(x+a)(x−c)(x+a)(x+c)(x−a)(x+c)(x−a)(x−c)=(x+a)2(x−a)2= \frac{(x+a)(x-c)(x+a)(x+c)}{(x-a)(x+c)(x-a)(x-c)} = \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2}

2) 5a−5b3c+3y⋅c2−y2−c−ya2−b2+a−b\frac{5a-5b}{3c+3y} \cdot \frac{c^2-y^2-c-y}{a^2-b^2+a-b}

Розкладемо на множники чисельники та знаменники:

5a−5b=5(a−b)5a-5b=5(a-b)
3c+3y=3(c+y)3c+3y=3(c+y)
c2−y2−c−y=(c2−y2)−(c+y)=(c−y)(c+y)−(c+y)=(c+y)(c−y−1)c^2-y^2-c-y = (c^2-y^2)-(c+y) = (c-y)(c+y)-(c+y) = (c+y)(c-y-1)
a2−b2+a−b=(a2−b2)+(a−b)=(a−b)(a+b)+(a−b)=(a−b)(a+b+1)a^2-b^2+a-b = (a^2-b^2)+(a-b) = (a-b)(a+b)+(a-b) = (a-b)(a+b+1)

Підставимо розкладені вирази у початковий дріб і виконаємо множення:

5(a−b)3(c+y)⋅(c+y)(c−y−1)(a−b)(a+b+1)=\frac{5(a-b)}{3(c+y)} \cdot \frac{(c+y)(c-y-1)}{(a-b)(a+b+1)} =
=5(a−b)(c+y)(c−y−1)3(c+y)(a−b)(a+b+1)=5(c−y−1)3(a+b+1)= \frac{5(a-b)(c+y)(c-y-1)}{3(c+y)(a-b)(a+b+1)} = \frac{5(c-y-1)}{3(a+b+1)}