До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.27

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Обчисліть a2−b2+a+ba2−b2+a−b⋅4a−4b8a+8b\frac{a^2-b^2+a+b}{a^2-b^2+a-b} \cdot \frac{4a-4b}{8a+8b}, якщо a=100,b=101a=100, b=101.

Короткий розв'язок

(a+b)(a−b+1)(a−b)(a+b+1)⋅4(a−b)8(a+b)=a−b+12(a+b+1)\frac{(a+b)(a-b+1)}{(a-b)(a+b+1)} \cdot \frac{4(a-b)}{8(a+b)} = \frac{a-b+1}{2(a+b+1)}
100−101+12(100+101+1)=02(202)=0\frac{100-101+1}{2(100+101+1)} = \frac{0}{2(202)} = 0

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Спочатку максимально спростимо вираз, розклавши чисельники та знаменники на множники. Потім скоротимо однакові множники. І лише після цього підставимо числові значення змінних.

1. Розкладемо на множники чисельник та знаменник першого дробу методом групування:

a2−b2+a+b=(a−b)(a+b)+(a+b)=(a+b)(a−b+1)a^2-b^2+a+b = (a-b)(a+b)+(a+b) = (a+b)(a-b+1)
a2−b2+a−b=(a−b)(a+b)+(a−b)=(a−b)(a+b+1)a^2-b^2+a-b = (a-b)(a+b)+(a-b) = (a-b)(a+b+1)

2. Винесемо спільний множник за дужки у другому дробі:

4a−4b=4(a−b)4a-4b = 4(a-b)
8a+8b=8(a+b)8a+8b = 8(a+b)

3. Підставимо розкладені вирази у початковий вираз і скоротимо:

(a+b)(a−b+1)(a−b)(a+b+1)⋅4(a−b)8(a+b)=\frac{(a+b)(a-b+1)}{(a-b)(a+b+1)} \cdot \frac{4(a-b)}{8(a+b)} =
=(a+b)(a−b+1)⋅4(a−b)(a−b)(a+b+1)⋅8(a+b)== \frac{(a+b)(a-b+1) \cdot 4(a-b)}{(a-b)(a+b+1) \cdot 8(a+b)} =
=4(a−b+1)8(a+b+1)=a−b+12(a+b+1)= \frac{4(a-b+1)}{8(a+b+1)} = \frac{a-b+1}{2(a+b+1)}

4. Тепер підставимо значення a=100a=100 та b=101b=101:

100−101+12(100+101+1)=02⋅202=0\frac{100-101+1}{2(100+101+1)} = \frac{0}{2 \cdot 202} = 0

Відповідь: 0.