ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.27
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Обчисліть $\frac{a^2-b^2+a+b}{a^2-b^2+a-b} \cdot \frac{4a-4b}{8a+8b}$, якщо $a=100, b=101$.
Короткий розв'язок
$$\frac{(a+b)(a-b+1)}{(a-b)(a+b+1)} \cdot \frac{4(a-b)}{8(a+b)} = \frac{a-b+1}{2(a+b+1)}$$
$$\frac{100-101+1}{2(100+101+1)} = \frac{0}{2(202)} = 0$$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Спочатку максимально спростимо вираз, розклавши чисельники та знаменники на множники. Потім скоротимо однакові множники. І лише після цього підставимо числові значення змінних.
1. Розкладемо на множники чисельник та знаменник першого дробу методом групування:
$$a^2-b^2+a+b = (a-b)(a+b)+(a+b) = (a+b)(a-b+1)$$
$$a^2-b^2+a-b = (a-b)(a+b)+(a-b) = (a-b)(a+b+1)$$
2. Винесемо спільний множник за дужки у другому дробі:
$$4a-4b = 4(a-b)$$
$$8a+8b = 8(a+b)$$
3. Підставимо розкладені вирази у початковий вираз і скоротимо:
$$\frac{(a+b)(a-b+1)}{(a-b)(a+b+1)} \cdot \frac{4(a-b)}{8(a+b)} =$$
$$= \frac{(a+b)(a-b+1) \cdot 4(a-b)}{(a-b)(a+b+1) \cdot 8(a+b)} =$$
$$= \frac{4(a-b+1)}{8(a+b+1)} = \frac{a-b+1}{2(a+b+1)}$$
4. Тепер підставимо значення $a=100$ та $b=101$:
$$\frac{100-101+1}{2(100+101+1)} = \frac{0}{2 \cdot 202} = 0$$
Відповідь: 0.
