ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.33

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

На моніторі комп’ютера – число 2500. Що хвилини комп’ютерна програма множить або ділить це число на 2 або на 5, одержуючи при цьому натуральне число. Чи може на моніторі рівно через годину з’явитися число:

1) 10 000;

2) 20 000?

Короткий розв'язок

Початкове число: $2500 = 2^2 \cdot 5^4$. Кількість операцій: 60 (1 година). Операції змінюють лише степені 2 і 5.

1) $10000 = 2^4 \cdot 5^4$. Зміна степеня 2: $4-2=2$. Зміна степеня 5: $4-4=0$. Сума змін $2+0=2$. Парність суми змін (2) збігається з парністю кількості операцій (60). Так, можливо.

2) $20000 = 2^5 \cdot 5^4$. Зміна степеня 2: $5-2=3$. Зміна степеня 5: $4-4=0$. Сума змін $3+0=3$. Парність суми змін (3) не збігається з парністю кількості операцій (60). Ні, не можливо.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Ця задача розв'язується через аналіз простих множників та парності. Усі операції (множення і ділення на 2 і 5) змінюють лише степені двійки та п'ятірки у розкладі числа на прості множники. Кожна операція змінює суму показників степенів на 1. Тому за парну кількість операцій парність суми показників змінитися не може.

Розкладемо початкове число на прості множники:

$$2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot 10^2 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 5^4$$

Всі операції відбуваються з числами 2 і 5, отже, будь-яке число, яке можна отримати, матиме вигляд $2^a \cdot 5^b$.

Рівно через годину буде виконано 60 операцій (оскільки 1 година = 60 хвилин).

1) Чи можна отримати 10 000?

Розкладемо 10 000 на прості множники:

$$10000 = 100^2 = (10^2)^2 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$$

Щоб перейти від $2^2 \cdot 5^4$ до $2^4 \cdot 5^4$, потрібно помножити на $2^2$, тобто виконати множення на 2 двічі.

Це 2 операції. Решту 58 операцій ($60-2=58$) потрібно витратити так, щоб вони не змінили число. Це можна зробити, виконавши 29 пар взаємно обернених операцій, наприклад, 29 разів помножити на 2 і 29 разів поділити на 2. Отже, загалом потрібно помножити на 2 $2+29=31$ раз і поділити на 2 $29$ разів. Степінь двійки зміниться на $31-29=2$. Це можливо.

Перевіримо через парність: кожна операція змінює або степінь двійки на $\pm1$, або степінь п'ятірки на $\pm1$. За 60 операцій ми змінимо суму степенів на парне число. Початкова сума степенів: $2+4=6$. Кінцева сума степенів: $4+4=8$. Зміна суми степенів: $8-6=2$ (парне число). Оскільки 60 теж парне, це можливо.

Відповідь: Так, може.

2) Чи можна отримати 20 000?

Розкладемо 20 000 на прості множники:

$$20000 = 2 \cdot 10000 = 2 \cdot 2^4 \cdot 5^4 = 2^5 \cdot 5^4$$

Щоб перейти від $2^2 \cdot 5^4$ до $2^5 \cdot 5^4$, потрібно помножити на $2^3$, тобто виконати множення на 2 тричі.

Це 3 операції. Решту 57 операцій ($60-3=57$) потрібно витратити так, щоб вони не змінили число. 57 — непарне число, тому неможливо виконати однакову кількість взаємно обернених операцій (наприклад, множення і ділення на 2). Будь-яка комбінація з 57 операцій змінить число.

Перевіримо через парність: початкова сума степенів: $2+4=6$. Кінцева сума степенів: $5+4=9$. Зміна суми степенів: $9-6=3$ (непарне число). За 60 (парне число) операцій неможливо отримати непарну зміну суми степенів.

Відповідь: Ні, не може.