До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.9

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) m2−n2p+2q:mn+m22p+4q\frac{m^2-n^2}{p+2q} : \frac{mn+m^2}{2p+4q};    2) 6x−302x+5:x2−254x+10\frac{6x-30}{2x+5} : \frac{x^2-25}{4x+10};

3) a+2a−2:a2+4a+45a−10\frac{a+2}{a-2} : \frac{a^2+4a+4}{5a-10};    4) x+yp−2m:x2+2xy+y22m2−mp\frac{x+y}{p-2m} : \frac{x^2+2xy+y^2}{2m^2-mp}.

Короткий розв'язок

1) (m−n)(m+n)p+2q⋅2(p+2q)m(n+m)=2(m−n)m\frac{(m-n)(m+n)}{p+2q} \cdot \frac{2(p+2q)}{m(n+m)} = \frac{2(m-n)}{m}

2) 6(x−5)2x+5⋅2(2x+5)(x−5)(x+5)=12x+5\frac{6(x-5)}{2x+5} \cdot \frac{2(2x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{12}{x+5}

3) a+2a−2⋅5(a−2)(a+2)2=5a+2\frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{5(a-2)}{(a+2)^2} = \frac{5}{a+2}

4) x+yp−2m⋅m(2m−p)(x+y)2=x+y−(2m−p)⋅m(2m−p)(x+y)2=−mx+y\frac{x+y}{p-2m} \cdot \frac{m(2m-p)}{(x+y)^2} = \frac{x+y}{-(2m-p)} \cdot \frac{m(2m-p)}{(x+y)^2} = -\frac{m}{x+y}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми застосуємо ділення дробів, а також формули скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми) та винесення спільного множника за дужки.

1) m2−n2p+2q:mn+m22p+4q\frac{m^2-n^2}{p+2q} : \frac{mn+m^2}{2p+4q}

Розкладемо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів, а в знаменнику та чисельнику другого дробу винесемо спільні множники.

=(m−n)(m+n)p+2q:m(n+m)2(p+2q)== \frac{(m-n)(m+n)}{p+2q} : \frac{m(n+m)}{2(p+2q)} =
=(m−n)(m+n)p+2q⋅2(p+2q)m(n+m)=2(m−n)m= \frac{(m-n)(m+n)}{p+2q} \cdot \frac{2(p+2q)}{m(n+m)} = \frac{2(m-n)}{m}

2) 6x−302x+5:x2−254x+10\frac{6x-30}{2x+5} : \frac{x^2-25}{4x+10}

Винесемо спільні множники та застосуємо формулу різниці квадратів.

=6(x−5)2x+5:(x−5)(x+5)2(2x+5)== \frac{6(x-5)}{2x+5} : \frac{(x-5)(x+5)}{2(2x+5)} =
=6(x−5)2x+5⋅2(2x+5)(x−5)(x+5)=12x+5= \frac{6(x-5)}{2x+5} \cdot \frac{2(2x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{12}{x+5}

3) a+2a−2:a2+4a+45a−10\frac{a+2}{a-2} : \frac{a^2+4a+4}{5a-10}

Згорнемо чисельник другого дробу за формулою квадрата суми та винесемо спільний множник у знаменнику.

=a+2a−2:(a+2)25(a−2)=a+2a−2⋅5(a−2)(a+2)2== \frac{a+2}{a-2} : \frac{(a+2)^2}{5(a-2)} = \frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{5(a-2)}{(a+2)^2} =
=5a+2= \frac{5}{a+2}

4) x+yp−2m:x2+2xy+y22m2−mp\frac{x+y}{p-2m} : \frac{x^2+2xy+y^2}{2m^2-mp}

Згорнемо чисельник другого дробу (квадрат суми) та винесемо спільні множники в знаменниках.

=x+yp−2m:(x+y)2m(2m−p)== \frac{x+y}{p-2m} : \frac{(x+y)^2}{m(2m-p)} =

Щоб скоротити знаменники, винесемо мінус за дужки в першому дробі: p−2m=−(2m−p)p-2m = -(2m-p).

=x+y−(2m−p)⋅m(2m−p)(x+y)2== \frac{x+y}{-(2m-p)} \cdot \frac{m(2m-p)}{(x+y)^2} =
=−mx+y= -\frac{m}{x+y}