До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.10

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) ab+b2m−3n:a2−b22m−6n\frac{ab+b^2}{m-3n} : \frac{a^2-b^2}{2m-6n};    2) x−5y2−4:2x−103y−6\frac{x-5}{y^2-4} : \frac{2x-10}{3y-6};

3) x2−9x2+x:x2+6x+97x+7\frac{x^2-9}{x^2+x} : \frac{x^2+6x+9}{7x+7};    4) x−4ya2−2ab+b2:4xy−x2a−b\frac{x-4y}{a^2-2ab+b^2} : \frac{4xy-x^2}{a-b}.

Короткий розв'язок

1) ab+b2m−3n:a2−b22m−6n=b(a+b)m−3n⋅2(m−3n)(a−b)(a+b)=2ba−b\frac{ab+b^2}{m-3n} : \frac{a^2-b^2}{2m-6n} = \frac{b(a+b)}{m-3n} \cdot \frac{2(m-3n)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{a-b}

2) x−5y2−4:2x−103y−6=x−5(y−2)(y+2)⋅3(y−2)2(x−5)=32(y+2)\frac{x-5}{y^2-4} : \frac{2x-10}{3y-6} = \frac{x-5}{(y-2)(y+2)} \cdot \frac{3(y-2)}{2(x-5)} = \frac{3}{2(y+2)}

3) x2−9x2+x:x2+6x+97x+7=(x−3)(x+3)x(x+1)⋅7(x+1)(x+3)2=7(x−3)x(x+3)\frac{x^2-9}{x^2+x} : \frac{x^2+6x+9}{7x+7} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+1)} \cdot \frac{7(x+1)}{(x+3)^2} = \frac{7(x-3)}{x(x+3)}

4) x−4ya2−2ab+b2:4xy−x2a−b=x−4y(a−b)2⋅a−bx(4y−x)=−(4y−x)(a−b)2⋅a−bx(4y−x)=−1x(a−b)\frac{x-4y}{a^2-2ab+b^2} : \frac{4xy-x^2}{a-b} = \frac{x-4y}{(a-b)^2} \cdot \frac{a-b}{x(4y-x)} = \frac{-(4y-x)}{(a-b)^2} \cdot \frac{a-b}{x(4y-x)} = -\frac{1}{x(a-b)}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб виконати ці завдання, ми будемо використовувати правило ділення раціональних дробів, яке полягає у множенні першого дробу на дріб, обернений до другого. Також ми застосуємо методи розкладання многочленів на множники: винесення спільного множника за дужки та формули скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми/різниці).

1) ab+b2m−3n:a2−b22m−6n\frac{ab+b^2}{m-3n} : \frac{a^2-b^2}{2m-6n}

Замінюємо ділення на множення, перевернувши другий дріб. Потім розкладаємо чисельники і знаменники на множники.

=ab+b2m−3n⋅2m−6na2−b2== \frac{ab+b^2}{m-3n} \cdot \frac{2m-6n}{a^2-b^2} =
=b(a+b)m−3n⋅2(m−3n)(a−b)(a+b)== \frac{b(a+b)}{m-3n} \cdot \frac{2(m-3n)}{(a-b)(a+b)} =

Скорочуємо однакові множники (a+b)(a+b) та (m−3n)(m-3n) у чисельнику та знаменнику.

=2ba−b= \frac{2b}{a-b}

2) x−5y2−4:2x−103y−6\frac{x-5}{y^2-4} : \frac{2x-10}{3y-6}

Перетворюємо ділення на множення, розкладаємо вирази на множники, використовуючи формулу різниці квадратів та винесення спільного множника.

=x−5y2−4⋅3y−62x−10== \frac{x-5}{y^2-4} \cdot \frac{3y-6}{2x-10} =
=x−5(y−2)(y+2)⋅3(y−2)2(x−5)== \frac{x-5}{(y-2)(y+2)} \cdot \frac{3(y-2)}{2(x-5)} =

Скорочуємо спільні множники (x−5)(x-5) та (y−2)(y-2).

=32(y+2)= \frac{3}{2(y+2)}

3) x2−9x2+x:x2+6x+97x+7\frac{x^2-9}{x^2+x} : \frac{x^2+6x+9}{7x+7}

Замінюємо ділення множенням. Розкладаємо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів, а чисельник другого — за формулою квадрата суми. В знаменниках виносимо спільні множники.

=x2−9x2+x⋅7x+7x2+6x+9== \frac{x^2-9}{x^2+x} \cdot \frac{7x+7}{x^2+6x+9} =
=(x−3)(x+3)x(x+1)⋅7(x+1)(x+3)2== \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+1)} \cdot \frac{7(x+1)}{(x+3)^2} =

Скорочуємо однакові множники (x+1)(x+1) та (x+3)(x+3).

=7(x−3)x(x+3)= \frac{7(x-3)}{x(x+3)}

4) x−4ya2−2ab+b2:4xy−x2a−b\frac{x-4y}{a^2-2ab+b^2} : \frac{4xy-x^2}{a-b}

Перетворюємо ділення на множення. Знаменник першого дробу згортаємо за формулою квадрата різниці. У чисельнику другого дробу виносимо спільний множник.

=x−4y(a−b)2⋅a−bx(4y−x)== \frac{x-4y}{(a-b)^2} \cdot \frac{a-b}{x(4y-x)} =

Щоб скоротити дріб, у чисельнику першого дробу винесемо знак мінус за дужки: x−4y=−(4y−x)x-4y = -(4y-x).

=−(4y−x)(a−b)2⋅a−bx(4y−x)== \frac{-(4y-x)}{(a-b)^2} \cdot \frac{a-b}{x(4y-x)} =

Скорочуємо спільні множники (4y−x)(4y-x) та (a−b)(a-b).

=−1x(a−b)=−1x(a−b)= \frac{-1}{x(a-b)} = -\frac{1}{x(a-b)}