ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.10
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Спростіть вираз:
1) $\frac{ab+b^2}{m-3n} : \frac{a^2-b^2}{2m-6n}$; 2) $\frac{x-5}{y^2-4} : \frac{2x-10}{3y-6}$;
3) $\frac{x^2-9}{x^2+x} : \frac{x^2+6x+9}{7x+7}$; 4) $\frac{x-4y}{a^2-2ab+b^2} : \frac{4xy-x^2}{a-b}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{ab+b^2}{m-3n} : \frac{a^2-b^2}{2m-6n} = \frac{b(a+b)}{m-3n} \cdot \frac{2(m-3n)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{a-b}$
2) $\frac{x-5}{y^2-4} : \frac{2x-10}{3y-6} = \frac{x-5}{(y-2)(y+2)} \cdot \frac{3(y-2)}{2(x-5)} = \frac{3}{2(y+2)}$
3) $\frac{x^2-9}{x^2+x} : \frac{x^2+6x+9}{7x+7} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+1)} \cdot \frac{7(x+1)}{(x+3)^2} = \frac{7(x-3)}{x(x+3)}$
4) $\frac{x-4y}{a^2-2ab+b^2} : \frac{4xy-x^2}{a-b} = \frac{x-4y}{(a-b)^2} \cdot \frac{a-b}{x(4y-x)} = \frac{-(4y-x)}{(a-b)^2} \cdot \frac{a-b}{x(4y-x)} = -\frac{1}{x(a-b)}$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб виконати ці завдання, ми будемо використовувати правило ділення раціональних дробів, яке полягає у множенні першого дробу на дріб, обернений до другого. Також ми застосуємо методи розкладання многочленів на множники: винесення спільного множника за дужки та формули скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми/різниці).
1) $\frac{ab+b^2}{m-3n} : \frac{a^2-b^2}{2m-6n}$
Замінюємо ділення на множення, перевернувши другий дріб. Потім розкладаємо чисельники і знаменники на множники.
Скорочуємо однакові множники $(a+b)$ та $(m-3n)$ у чисельнику та знаменнику.
2) $\frac{x-5}{y^2-4} : \frac{2x-10}{3y-6}$
Перетворюємо ділення на множення, розкладаємо вирази на множники, використовуючи формулу різниці квадратів та винесення спільного множника.
Скорочуємо спільні множники $(x-5)$ та $(y-2)$.
3) $\frac{x^2-9}{x^2+x} : \frac{x^2+6x+9}{7x+7}$
Замінюємо ділення множенням. Розкладаємо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів, а чисельник другого — за формулою квадрата суми. В знаменниках виносимо спільні множники.
Скорочуємо однакові множники $(x+1)$ та $(x+3)$.
4) $\frac{x-4y}{a^2-2ab+b^2} : \frac{4xy-x^2}{a-b}$
Перетворюємо ділення на множення. Знаменник першого дробу згортаємо за формулою квадрата різниці. У чисельнику другого дробу виносимо спільний множник.
Щоб скоротити дріб, у чисельнику першого дробу винесемо знак мінус за дужки: $x-4y = -(4y-x)$.
Скорочуємо спільні множники $(4y-x)$ та $(a-b)$.
