До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.15

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте ділення:

1) 9+6a+4a22a−1:27−8a31−4a2\frac{9+6a+4a^2}{2a-1} : \frac{27-8a^3}{1-4a^2};

2) 8+x316−x4:x2−2x+4x2+4\frac{8+x^3}{16-x^4} : \frac{x^2-2x+4}{x^2+4};

3) (25x2−10xy+y2):y2−5xy7(25x^2-10xy+y^2) : \frac{y^2-5xy}{7};

4) (6y−4x)23:(9y2−12xy+4x2)\frac{(6y-4x)^2}{3} : (9y^2-12xy+4x^2).

Короткий розв'язок

1) 4a2+6a+92a−1⋅1−4a227−8a3=4a2+6a+92a−1⋅(1−2a)(1+2a)(3−2a)(9+6a+4a2)=−(2a−1)(2a+1)(2a−1)(−(2a−3))=2a+12a−3\frac{4a^2+6a+9}{2a-1} \cdot \frac{1-4a^2}{27-8a^3} = \frac{4a^2+6a+9}{2a-1} \cdot \frac{(1-2a)(1+2a)}{(3-2a)(9+6a+4a^2)} = \frac{-(2a-1)(2a+1)}{(2a-1)(-(2a-3))} = \frac{2a+1}{2a-3}

2) 8+x316−x4⋅x2+4x2−2x+4=(2+x)(4−2x+x2)(4−x2)(4+x2)⋅x2+4x2−2x+4=2+x(2−x)(2+x)=12−x\frac{8+x^3}{16-x^4} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} = \frac{(2+x)(4-2x+x^2)}{(4-x^2)(4+x^2)} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} = \frac{2+x}{(2-x)(2+x)} = \frac{1}{2-x}

3) (5x−y)2⋅7y(y−5x)=(5x−y)2⋅7−y(5x−y)=−7(5x−y)y(5x-y)^2 \cdot \frac{7}{y(y-5x)} = (5x-y)^2 \cdot \frac{7}{-y(5x-y)} = -\frac{7(5x-y)}{y}

4) (2(3y−2x))23⋅1(3y−2x)2=4(3y−2x)23(3y−2x)2=43\frac{(2(3y-2x))^2}{3} \cdot \frac{1}{(3y-2x)^2} = \frac{4(3y-2x)^2}{3(3y-2x)^2} = \frac{4}{3}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення даних виразів ми застосуємо правило ділення раціональних дробів. Ключовим етапом є розкладання многочленів у чисельниках та знаменниках на множники за допомогою формул скороченого множення: різниця квадратів, сума та різниця кубів, квадрат різниці.

1) 9+6a+4a22a−1:27−8a31−4a2\frac{9+6a+4a^2}{2a-1} : \frac{27-8a^3}{1-4a^2}

Замінюємо ділення на множення. Розкладаємо чисельник і знаменник другого дробу на множники за формулами різниці кубів та різниці квадратів.

=4a2+6a+92a−1⋅1−4a227−8a3= = \frac{4a^2+6a+9}{2a-1} \cdot \frac{1-4a^2}{27-8a^3} =
=4a2+6a+92a−1⋅(1−2a)(1+2a)(3−2a)(9+6a+4a2)= = \frac{4a^2+6a+9}{2a-1} \cdot \frac{(1-2a)(1+2a)}{(3-2a)(9+6a+4a^2)} =

Скорочуємо спільний множник (4a2+6a+9)(4a^2+6a+9). Для подальшого скорочення винесемо мінус за дужки: 1−2a=−(2a−1)1-2a = -(2a-1).

=12a−1⋅−(2a−1)(1+2a)3−2a=−(1+2a)3−2a= = \frac{1}{2a-1} \cdot \frac{-(2a-1)(1+2a)}{3-2a} = \frac{-(1+2a)}{3-2a} =

Щоб позбутися мінуса в чисельнику, змінимо знаки в знаменнику: −(3−2a)=2a−3-(3-2a) = 2a-3.

=1+2a2a−3 = \frac{1+2a}{2a-3}

2) 8+x316−x4:x2−2x+4x2+4\frac{8+x^3}{16-x^4} : \frac{x^2-2x+4}{x^2+4}

Перетворюємо ділення на множення. Розкладаємо чисельник першого дробу за формулою суми кубів, а знаменник — за формулою різниці квадратів.

=8+x316−x4⋅x2+4x2−2x+4= = \frac{8+x^3}{16-x^4} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} =
=(2+x)(4−2x+x2)(4−x2)(4+x2)⋅x2+4x2−2x+4= = \frac{(2+x)(4-2x+x^2)}{(4-x^2)(4+x^2)} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} =

Розкладемо знаменник (4−x2)(4-x^2) ще раз як різницю квадратів: (2−x)(2+x)(2-x)(2+x).

=(2+x)(x2−2x+4)(2−x)(2+x)(x2+4)⋅x2+4x2−2x+4= = \frac{(2+x)(x^2-2x+4)}{(2-x)(2+x)(x^2+4)} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} =

Скорочуємо однакові множники: (2+x)(2+x), (x2−2x+4)(x^2-2x+4) та (x2+4)(x^2+4).

=12−x = \frac{1}{2-x}

3) (25x2−10xy+y2):y2−5xy7(25x^2-10xy+y^2) : \frac{y^2-5xy}{7}

Перший вираз згортаємо за формулою квадрата різниці. Ділення замінюємо множенням. У знаменнику другого дробу виносимо спільний множник.

=(5x−y)2⋅7y(y−5x)= = (5x-y)^2 \cdot \frac{7}{y(y-5x)} =

Винесемо мінус у знаменнику: y−5x=−(5x−y)y-5x = -(5x-y).

=(5x−y)2⋅7−y(5x−y)= = (5x-y)^2 \cdot \frac{7}{-y(5x-y)} =

Скорочуємо спільний множник (5x−y)(5x-y).

=7(5x−y)−y=−7(5x−y)y = \frac{7(5x-y)}{-y} = -\frac{7(5x-y)}{y}

4) (6y−4x)23:(9y2−12xy+4x2)\frac{(6y-4x)^2}{3} : (9y^2-12xy+4x^2)

У чисельнику першого дробу винесемо спільний множник 22 за дужки. Другий вираз згорнемо за формулою квадрата різниці.

=(2(3y−2x))23:(3y−2x)2= = \frac{(2(3y-2x))^2}{3} : (3y-2x)^2 =
=4(3y−2x)23⋅1(3y−2x)2= = \frac{4(3y-2x)^2}{3} \cdot \frac{1}{(3y-2x)^2} =

Скорочуємо спільний множник (3y−2x)2(3y-2x)^2.

=43 = \frac{4}{3}