ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.15
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Виконайте ділення:
1) $\frac{9+6a+4a^2}{2a-1} : \frac{27-8a^3}{1-4a^2}$;
2) $\frac{8+x^3}{16-x^4} : \frac{x^2-2x+4}{x^2+4}$;
3) $(25x^2-10xy+y^2) : \frac{y^2-5xy}{7}$;
4) $\frac{(6y-4x)^2}{3} : (9y^2-12xy+4x^2)$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{4a^2+6a+9}{2a-1} \cdot \frac{1-4a^2}{27-8a^3} = \frac{4a^2+6a+9}{2a-1} \cdot \frac{(1-2a)(1+2a)}{(3-2a)(9+6a+4a^2)} = \frac{-(2a-1)(2a+1)}{(2a-1)(-(2a-3))} = \frac{2a+1}{2a-3}$
2) $\frac{8+x^3}{16-x^4} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} = \frac{(2+x)(4-2x+x^2)}{(4-x^2)(4+x^2)} \cdot \frac{x^2+4}{x^2-2x+4} = \frac{2+x}{(2-x)(2+x)} = \frac{1}{2-x}$
3) $(5x-y)^2 \cdot \frac{7}{y(y-5x)} = (5x-y)^2 \cdot \frac{7}{-y(5x-y)} = -\frac{7(5x-y)}{y}$
4) $\frac{(2(3y-2x))^2}{3} \cdot \frac{1}{(3y-2x)^2} = \frac{4(3y-2x)^2}{3(3y-2x)^2} = \frac{4}{3}$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення даних виразів ми застосуємо правило ділення раціональних дробів. Ключовим етапом є розкладання многочленів у чисельниках та знаменниках на множники за допомогою формул скороченого множення: різниця квадратів, сума та різниця кубів, квадрат різниці.
1) $\frac{9+6a+4a^2}{2a-1} : \frac{27-8a^3}{1-4a^2}$
Замінюємо ділення на множення. Розкладаємо чисельник і знаменник другого дробу на множники за формулами різниці кубів та різниці квадратів.
Скорочуємо спільний множник $(4a^2+6a+9)$. Для подальшого скорочення винесемо мінус за дужки: $1-2a = -(2a-1)$.
Щоб позбутися мінуса в чисельнику, змінимо знаки в знаменнику: $-(3-2a) = 2a-3$.
2) $\frac{8+x^3}{16-x^4} : \frac{x^2-2x+4}{x^2+4}$
Перетворюємо ділення на множення. Розкладаємо чисельник першого дробу за формулою суми кубів, а знаменник — за формулою різниці квадратів.
Розкладемо знаменник $(4-x^2)$ ще раз як різницю квадратів: $(2-x)(2+x)$.
Скорочуємо однакові множники: $(2+x)$, $(x^2-2x+4)$ та $(x^2+4)$.
3) $(25x^2-10xy+y^2) : \frac{y^2-5xy}{7}$
Перший вираз згортаємо за формулою квадрата різниці. Ділення замінюємо множенням. У знаменнику другого дробу виносимо спільний множник.
Винесемо мінус у знаменнику: $y-5x = -(5x-y)$.
Скорочуємо спільний множник $(5x-y)$.
4) $\frac{(6y-4x)^2}{3} : (9y^2-12xy+4x^2)$
У чисельнику першого дробу винесемо спільний множник $2$ за дужки. Другий вираз згорнемо за формулою квадрата різниці.
Скорочуємо спільний множник $(3y-2x)^2$.
