ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.12

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

У 2012 р. в Україні встановлено рекорд за тривалістю музичного телемарафону національної пісні. Спростіть вираз $\frac{n^2+3n}{5c-p} : \frac{n+3}{10p^2-50pc}$ , знайдіть його значення, якщо $n = 5,5$ , $p = -2$ , та дізнаєтеся, скільки годин тривав цей телемарафон.

Короткий розв'язок

$\frac{n^2+3n}{5c-p} : \frac{n+3}{10p^2-50pc} = \frac{n(n+3)}{5c-p} \cdot \frac{10p(p-5c)}{n+3} = \frac{n(n+3)}{5c-p} \cdot \frac{-10p(5c-p)}{n+3} = -10pn$

Якщо $n=5,5$ , $p=-2$ , то $-10pn = -10 \cdot (-2) \cdot 5,5 = 20 \cdot 5,5 = 110$

Відповідь: 110 годин.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для вирішення цього завдання ми спочатку виконаємо ділення раціональних дробів, попередньо розклавши їх чисельники та знаменники на множники. Після спрощення виразу ми підставимо в нього задані числові значення та знайдемо кінцевий результат.

Етап 1: Спрощення виразу.

Замінюємо ділення на множення, перевернувши другий дріб.

\frac{n^2+3n}{5c-p} : \frac{n+3}{10p^2-50pc} = \frac{n^2+3n}{5c-p} \cdot \frac{10p^2-50pc}{n+3} =

Винесемо спільні множники за дужки в чисельнику першого дробу та в знаменнику другого.

= \frac{n(n+3)}{5c-p} \cdot \frac{10p(p-5c)}{n+3} =

Зауважимо, що вирази $5c-p$ та $p-5c$ є протилежними. Винесемо знак мінус у другому дробі, щоб отримати однакові множники: $p-5c = -(5c-p)$ .

= \frac{n(n+3)}{5c-p} \cdot \frac{-10p(5c-p)}{n+3} =

Тепер скоротимо однакові множники $(n+3)$ та $(5c-p)$ у чисельнику та знаменнику.

= n \cdot (-10p) = -10pn

Етап 2: Знаходження значення виразу.

Підставимо значення $n=5,5$ та $p=-2$ у спрощений вираз $-10pn$ .

-10 \cdot (-2) \cdot 5,5 = 20 \cdot 5,5 = 110

Отже, телемарафон тривав 110 годин.