ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.23
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що для всіх допустимих значень змінних значення виразу не залежить від значення змінних:
$\frac{8}{4a-b} : \left(\frac{2a-0,5b}{4a^2+ab+0,25b^2} + \frac{24ab}{64a^3-b^3} + \frac{1}{2a-0,5b}\right)$
Короткий розв'язок
$\frac{8}{4a-b} : \left(\frac{2(4a-b)}{16a^2+4ab+b^2} + \frac{24ab}{64a^3-b^3} + \frac{2}{4a-b}\right) = $
$= \frac{8}{4a-b} : \frac{2(4a-b)^2+24ab+2(16a^2+4ab+b^2)}{64a^3-b^3} = $
$= \frac{8}{4a-b} : \frac{4(16a^2+4ab+b^2)}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} = $
$= \frac{8}{4a-b} : \frac{4}{4a-b} = 2$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, нам потрібно спростити вираз у дужках, звівши всі дроби до спільного знаменника. Для цього ми використаємо формулу різниці кубів $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ та перетворимо десяткові дроби на звичайні.
Спростимо вираз у дужках. Для початку перетворимо вирази з десятковими дробами:
$2a-0,5b = 2a-\frac{1}{2}b = \frac{1}{2}(4a-b)$
$4a^2+ab+0,25b^2 = 4a^2+ab+\frac{1}{4}b^2 = \frac{1}{4}(16a^2+4ab+b^2)$
Тоді перший та третій доданки в дужках набудуть вигляду:
$\frac{2a-0,5b}{4a^2+ab+0,25b^2} = \frac{\frac{1}{2}(4a-b)}{\frac{1}{4}(16a^2+4ab+b^2)} = \frac{2(4a-b)}{16a^2+4ab+b^2}$
$\frac{1}{2a-0,5b} = \frac{1}{\frac{1}{2}(4a-b)} = \frac{2}{4a-b}$
Розкладемо знаменник другого доданка за формулою різниці кубів:
$64a^3-b^3 = (4a)^3-b^3 = (4a-b)(16a^2+4ab+b^2)$
Тепер зведемо дроби в дужках до спільного знаменника $(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)$:
Запишемо все під спільним знаменником та розкриємо дужки в чисельнику:
Зведемо подібні доданки в чисельнику:
Ой, помилка в обчисленнях. Давайте перерахуємо чисельник уважніше:
$2(4a-b)^2 + 24ab + 2(16a^2+4ab+b^2) = $
$= 2(16a^2 - 8ab + b^2) + 24ab + 32a^2+8ab+2b^2 = $
$= 32a^2 - 16ab + 2b^2 + 24ab + 32a^2+8ab+2b^2 = $
$= (32a^2+32a^2) + (-16ab+24ab+8ab) + (2b^2+2b^2) = $
$= 64a^2 + 16ab + 4b^2 = 4(16a^2+4ab+b^2)$.
Правильний чисельник: $4(16a^2+4ab+b^2)$. Тоді вираз у дужках дорівнює:
Тепер виконаємо ділення:
Значення виразу дорівнює 2, тобто не залежить від значень змінних $a$ і $b$, що й треба було довести.
