ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.21
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Спростіть вираз:
1) $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$; 2) $\frac{\frac{7x-a}{a}+1}{\frac{7x+a}{a}-1}$; 3) $\frac{\frac{1}{p}-\frac{1}{2p}}{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{2p^2}}$;
4) $\frac{c-\frac{6c-9}{c}}{\frac{3}{c}-1}$; 5) $\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}}$; 6) $\frac{\frac{1}{n-m}-\frac{1}{n+m}}{\frac{1}{n-m}+\frac{1}{n+m}}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{(x-1)/x}{(x+1)/x} = \frac{x-1}{x+1}$
2) $\frac{(7x-a+a)/a}{(7x+a-a)/a} = \frac{7x/a}{7x/a} = 1$
3) $\frac{(2-1)/(2p)}{(2-1)/(2p^2)} = \frac{1/(2p)}{1/(2p^2)} = p$
4) $\frac{(c^2-6c+9)/c}{(3-c)/c} = \frac{(c-3)^2}{-(c-3)} = 3-c$
5) $\frac{(x^2-(x^2-1))/(x(x-1))}{(x^2-(x^2-1))/(x(x+1))} = \frac{1/(x(x-1))}{1/(x(x+1))} = \frac{x+1}{x-1}$
6) $\frac{((n+m)-(n-m))/((n-m)(n+m))}{((n+m)+(n-m))/((n-m)(n+m))} = \frac{2m}{2n} = \frac{m}{n}$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення цих "багатоповерхових" дробів, ми будемо окремо перетворювати їхні чисельники та знаменники, зводячи вирази в них до спільного знаменника. Потім виконаємо ділення дробів, замінивши його множенням на обернений дріб.
1) $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$
Спростимо чисельник і знаменник окремо.
2) $\frac{\frac{7x-a}{a}+1}{\frac{7x+a}{a}-1}$
Зведемо до спільного знаменника вирази в чисельнику та знаменнику.
3) $\frac{\frac{1}{p}-\frac{1}{2p}}{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{2p^2}}$
Виконаємо віднімання в чисельнику та знаменнику.
4) $\frac{c-\frac{6c-9}{c}}{\frac{3}{c}-1}$
Перетворимо чисельник і знаменник.
Застосуємо формулу квадрата різниці в чисельнику.
5) $\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}}$
Зведемо до спільних знаменників вирази в чисельнику та знаменнику головного дробу.
6) $\frac{\frac{1}{n-m}-\frac{1}{n+m}}{\frac{1}{n-m}+\frac{1}{n+m}}$
Спростимо чисельник та знаменник.
