До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.21

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) 1−1x1+1x\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}};    2) 7x−aa+17x+aa−1\frac{\frac{7x-a}{a}+1}{\frac{7x+a}{a}-1};    3) 1p−12p1p2−12p2\frac{\frac{1}{p}-\frac{1}{2p}}{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{2p^2}};

4) c−6c−9c3c−1\frac{c-\frac{6c-9}{c}}{\frac{3}{c}-1};    5) xx−1−x+1xxx+1−x−1x\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}};    6) 1n−m−1n+m1n−m+1n+m\frac{\frac{1}{n-m}-\frac{1}{n+m}}{\frac{1}{n-m}+\frac{1}{n+m}}.

Короткий розв'язок

1) (x−1)/x(x+1)/x=x−1x+1\frac{(x-1)/x}{(x+1)/x} = \frac{x-1}{x+1}

2) (7x−a+a)/a(7x+a−a)/a=7x/a7x/a=1\frac{(7x-a+a)/a}{(7x+a-a)/a} = \frac{7x/a}{7x/a} = 1

3) (2−1)/(2p)(2−1)/(2p2)=1/(2p)1/(2p2)=p\frac{(2-1)/(2p)}{(2-1)/(2p^2)} = \frac{1/(2p)}{1/(2p^2)} = p

4) (c2−6c+9)/c(3−c)/c=(c−3)2−(c−3)=3−c\frac{(c^2-6c+9)/c}{(3-c)/c} = \frac{(c-3)^2}{-(c-3)} = 3-c

5) (x2−(x2−1))/(x(x−1))(x2−(x2−1))/(x(x+1))=1/(x(x−1))1/(x(x+1))=x+1x−1\frac{(x^2-(x^2-1))/(x(x-1))}{(x^2-(x^2-1))/(x(x+1))} = \frac{1/(x(x-1))}{1/(x(x+1))} = \frac{x+1}{x-1}

6) ((n+m)−(n−m))/((n−m)(n+m))((n+m)+(n−m))/((n−m)(n+m))=2m2n=mn\frac{((n+m)-(n-m))/((n-m)(n+m))}{((n+m)+(n-m))/((n-m)(n+m))} = \frac{2m}{2n} = \frac{m}{n}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих "багатоповерхових" дробів, ми будемо окремо перетворювати їхні чисельники та знаменники, зводячи вирази в них до спільного знаменника. Потім виконаємо ділення дробів, замінивши його множенням на обернений дріб.

1) 1−1x1+1x\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}

Спростимо чисельник і знаменник окремо.

x−1xx+1x=x−1x⋅xx+1=x−1x+1 \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}

2) 7x−aa+17x+aa−1\frac{\frac{7x-a}{a}+1}{\frac{7x+a}{a}-1}

Зведемо до спільного знаменника вирази в чисельнику та знаменнику.

7x−a+aa7x+a−aa=7xa7xa=1 \frac{\frac{7x-a+a}{a}}{\frac{7x+a-a}{a}} = \frac{\frac{7x}{a}}{\frac{7x}{a}} = 1

3) 1p−12p1p2−12p2\frac{\frac{1}{p}-\frac{1}{2p}}{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{2p^2}}

Виконаємо віднімання в чисельнику та знаменнику.

2−12p2−12p2=12p12p2= \frac{\frac{2-1}{2p}}{\frac{2-1}{2p^2}} = \frac{\frac{1}{2p}}{\frac{1}{2p^2}} =
=12p⋅2p21=p= \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{1} = p

4) c−6c−9c3c−1\frac{c-\frac{6c-9}{c}}{\frac{3}{c}-1}

Перетворимо чисельник і знаменник.

c2−(6c−9)c3−cc=c2−6c+9c3−cc= \frac{\frac{c^2-(6c-9)}{c}}{\frac{3-c}{c}} = \frac{\frac{c^2-6c+9}{c}}{\frac{3-c}{c}} =

Застосуємо формулу квадрата різниці в чисельнику.

=(c−3)2c−(c−3)c=(c−3)2c⋅c−(c−3)== \frac{\frac{(c-3)^2}{c}}{\frac{-(c-3)}{c}} = \frac{(c-3)^2}{c} \cdot \frac{c}{-(c-3)} =
=−(c−3)=3−c= -(c-3) = 3-c

5) xx−1−x+1xxx+1−x−1x\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}}

Зведемо до спільних знаменників вирази в чисельнику та знаменнику головного дробу.

x2−(x+1)(x−1)x(x−1)x2−(x−1)(x+1)x(x+1)=x2−(x2−1)x(x−1)x2−(x2−1)x(x+1)= \frac{\frac{x^2 - (x+1)(x-1)}{x(x-1)}}{\frac{x^2 - (x-1)(x+1)}{x(x+1)}} = \frac{\frac{x^2 - (x^2-1)}{x(x-1)}}{\frac{x^2 - (x^2-1)}{x(x+1)}} =
=1x(x−1)1x(x+1)=1x(x−1)⋅x(x+1)1=x+1x−1= \frac{\frac{1}{x(x-1)}}{\frac{1}{x(x+1)}} = \frac{1}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x+1)}{1} = \frac{x+1}{x-1}

6) 1n−m−1n+m1n−m+1n+m\frac{\frac{1}{n-m}-\frac{1}{n+m}}{\frac{1}{n-m}+\frac{1}{n+m}}

Спростимо чисельник та знаменник.

n+m−(n−m)(n−m)(n+m)n+m+(n−m)(n−m)(n+m)=n+m−n+mn2−m2n+m+n−mn2−m2= \frac{\frac{n+m-(n-m)}{(n-m)(n+m)}}{\frac{n+m+(n-m)}{(n-m)(n+m)}} = \frac{\frac{n+m-n+m}{n^2-m^2}}{\frac{n+m+n-m}{n^2-m^2}} =
=2mn2−m22nn2−m2=2m2n=mn= \frac{\frac{2m}{n^2-m^2}}{\frac{2n}{n^2-m^2}} = \frac{2m}{2n} = \frac{m}{n}