ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.25
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Відомо, що $x - \frac{1}{x} = 7$. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
Короткий розв'язок
$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 7^2$
$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 49$
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 49$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 + 2 = 51$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб знайти значення шуканого виразу, потрібно піднести до квадрата обидві частини заданої рівності та скористатися формулою скороченого множення, а саме квадратом різниці: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Маємо задану рівність:
Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрата:
Розкриємо дужки в лівій частині за формулою квадрата різниці, де $a=x$ і $b=\frac{1}{x}$:
Спростимо середній доданок:
Тепер перенесемо число -2 в праву частину рівняння, змінивши його знак на протилежний, щоб виразити шукану суму квадратів:
Відповідь: 51.
