До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.22

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) 1+4m1−4m\frac{1+\frac{4}{m}}{1-\frac{4}{m}};    2) 3p+mm−13p−mm+1\frac{\frac{3p+m}{m}-1}{\frac{3p-m}{m}+1};    3) 14t+1t14t2+1t2\frac{\frac{1}{4t}+\frac{1}{t}}{\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{t^2}};

4) 1−1xx−2x−1x\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{2x-1}{x}};    5) m2−m+2+mmm2+m+2−mm\frac{\frac{m}{2-m}+\frac{2+m}{m}}{\frac{m}{2+m}+\frac{2-m}{m}};    6) 1x−2+1x+21x−2−1x+2\frac{\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}}{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}}.

Короткий розв'язок

1) (m+4)/m(m−4)/m=m+4m−4\frac{(m+4)/m}{(m-4)/m} = \frac{m+4}{m-4}

2) (3p+m−m)/m(3p−m+m)/m=3p/m3p/m=1\frac{(3p+m-m)/m}{(3p-m+m)/m} = \frac{3p/m}{3p/m} = 1

3) (1+4)/(4t)(1+4)/(4t2)=5/(4t)5/(4t2)=t\frac{(1+4)/(4t)}{(1+4)/(4t^2)} = \frac{5/(4t)}{5/(4t^2)} = t

4) (x−1)/x(x2−2x+1)/x=x−1(x−1)2=1x−1\frac{(x-1)/x}{(x^2-2x+1)/x} = \frac{x-1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1}

5) (m2+4−m2)/(m(2−m))(m2+4−m2)/(m(2+m))=4/(m(2−m))4/(m(2+m))=2+m2−m\frac{(m^2+4-m^2)/(m(2-m))}{(m^2+4-m^2)/(m(2+m))} = \frac{4/(m(2-m))}{4/(m(2+m))} = \frac{2+m}{2-m}

6) (x+2+x−2)/(x2−4)(x+2−(x−2))/(x2−4)=2x4=x2\frac{(x+2+x-2)/(x^2-4)}{(x+2-(x-2))/(x^2-4)} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб спростити ці вирази, ми послідовно виконуємо дії в чисельнику та знаменнику кожного "великого" дробу. Зводимо дроби до спільних знаменників, а потім замінюємо риску дробу дією ділення.

1) 1+4m1−4m\frac{1+\frac{4}{m}}{1-\frac{4}{m}}

Перетворимо чисельник і знаменник в окремі дроби.

m+4mm−4m=m+4m⋅mm−4=m+4m−4 \frac{\frac{m+4}{m}}{\frac{m-4}{m}} = \frac{m+4}{m} \cdot \frac{m}{m-4} = \frac{m+4}{m-4}

2) 3p+mm−13p−mm+1\frac{\frac{3p+m}{m}-1}{\frac{3p-m}{m}+1}

Зведемо до спільного знаменника вирази в чисельнику та знаменнику.

3p+m−mm3p−m+mm=3pm3pm=1 \frac{\frac{3p+m-m}{m}}{\frac{3p-m+m}{m}} = \frac{\frac{3p}{m}}{\frac{3p}{m}} = 1

3) 14t+1t14t2+1t2\frac{\frac{1}{4t}+\frac{1}{t}}{\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{t^2}}

Виконаємо додавання дробів.

1+44t1+44t2=54t54t2=54t⋅4t25=t \frac{\frac{1+4}{4t}}{\frac{1+4}{4t^2}} = \frac{\frac{5}{4t}}{\frac{5}{4t^2}} = \frac{5}{4t} \cdot \frac{4t^2}{5} = t

4) 1−1xx−2x−1x\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{2x-1}{x}}

Спростимо чисельник та знаменник.

x−1xx2−(2x−1)x=x−1xx2−2x+1x= \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x^2-(2x-1)}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x^2-2x+1}{x}} =

Згорнемо знаменник за формулою квадрата різниці.

=x−1x(x−1)2x=x−1x⋅x(x−1)2=1x−1= \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{(x-1)^2}{x}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1}

5) m2−m+2+mmm2+m+2−mm\frac{\frac{m}{2-m}+\frac{2+m}{m}}{\frac{m}{2+m}+\frac{2-m}{m}}

Зведемо до спільних знаменників вирази в чисельнику та знаменнику.

m2+(2+m)(2−m)m(2−m)m2+(2−m)(2+m)m(2+m)=m2+4−m2m(2−m)m2+4−m2m(2+m)= \frac{\frac{m^2+(2+m)(2-m)}{m(2-m)}}{\frac{m^2+(2-m)(2+m)}{m(2+m)}} = \frac{\frac{m^2+4-m^2}{m(2-m)}}{\frac{m^2+4-m^2}{m(2+m)}} =
=4m(2−m)4m(2+m)=4m(2−m)⋅m(2+m)4=2+m2−m= \frac{\frac{4}{m(2-m)}}{\frac{4}{m(2+m)}} = \frac{4}{m(2-m)} \cdot \frac{m(2+m)}{4} = \frac{2+m}{2-m}

6) 1x−2+1x+21x−2−1x+2\frac{\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}}{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}}

Спростимо чисельник та знаменник.

x+2+x−2(x−2)(x+2)x+2−(x−2)(x−2)(x+2)=2xx2−4x+2−x+2x2−4= \frac{\frac{x+2+x-2}{(x-2)(x+2)}}{\frac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}} = \frac{\frac{2x}{x^2-4}}{\frac{x+2-x+2}{x^2-4}} =
=2xx2−44x2−4=2x4=x2= \frac{\frac{2x}{x^2-4}}{\frac{4}{x^2-4}} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}