ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.22
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Спростіть вираз:
1) $\frac{1+\frac{4}{m}}{1-\frac{4}{m}}$; 2) $\frac{\frac{3p+m}{m}-1}{\frac{3p-m}{m}+1}$; 3) $\frac{\frac{1}{4t}+\frac{1}{t}}{\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{t^2}}$;
4) $\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{2x-1}{x}}$; 5) $\frac{\frac{m}{2-m}+\frac{2+m}{m}}{\frac{m}{2+m}+\frac{2-m}{m}}$; 6) $\frac{\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}}{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{(m+4)/m}{(m-4)/m} = \frac{m+4}{m-4}$
2) $\frac{(3p+m-m)/m}{(3p-m+m)/m} = \frac{3p/m}{3p/m} = 1$
3) $\frac{(1+4)/(4t)}{(1+4)/(4t^2)} = \frac{5/(4t)}{5/(4t^2)} = t$
4) $\frac{(x-1)/x}{(x^2-2x+1)/x} = \frac{x-1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1}$
5) $\frac{(m^2+4-m^2)/(m(2-m))}{(m^2+4-m^2)/(m(2+m))} = \frac{4/(m(2-m))}{4/(m(2+m))} = \frac{2+m}{2-m}$
6) $\frac{(x+2+x-2)/(x^2-4)}{(x+2-(x-2))/(x^2-4)} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб спростити ці вирази, ми послідовно виконуємо дії в чисельнику та знаменнику кожного "великого" дробу. Зводимо дроби до спільних знаменників, а потім замінюємо риску дробу дією ділення.
1) $\frac{1+\frac{4}{m}}{1-\frac{4}{m}}$
Перетворимо чисельник і знаменник в окремі дроби.
2) $\frac{\frac{3p+m}{m}-1}{\frac{3p-m}{m}+1}$
Зведемо до спільного знаменника вирази в чисельнику та знаменнику.
3) $\frac{\frac{1}{4t}+\frac{1}{t}}{\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{t^2}}$
Виконаємо додавання дробів.
4) $\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{2x-1}{x}}$
Спростимо чисельник та знаменник.
Згорнемо знаменник за формулою квадрата різниці.
5) $\frac{\frac{m}{2-m}+\frac{2+m}{m}}{\frac{m}{2+m}+\frac{2-m}{m}}$
Зведемо до спільних знаменників вирази в чисельнику та знаменнику.
6) $\frac{\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}}{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}}$
Спростимо чисельник та знаменник.
