До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.20

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Перетворіть вираз на дріб:

1) (xy+yx)2\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2;    2) (mn2+1)2−(mn2−1)2\left(\frac{m}{n^2} + 1\right)^2 - \left(\frac{m}{n^2} - 1\right)^2.

Короткий розв'язок

1) (x2+y2xy)2=(x2+y2)2(xy)2=x4+2x2y2+y4x2y2\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)^2 = \frac{(x^2+y^2)^2}{(xy)^2} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{x^2y^2}

2) 4⋅mn2⋅1=4mn24 \cdot \frac{m}{n^2} \cdot 1 = \frac{4m}{n^2}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для перетворення цих виразів ми використаємо формули скороченого множення: квадрат суми (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 для першого завдання, та тотожність (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2-(x-y)^2=4xy для другого.

1) (xy+yx)2\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2

Спочатку зведемо дроби в дужках до спільного знаменника, а потім піднесемо отриманий дріб до квадрата.

(x⋅x+y⋅yyx)2=(x2+y2xy)2= \left(\frac{x \cdot x + y \cdot y}{yx}\right)^2 = \left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)^2 =
=(x2+y2)2(xy)2=x4+2x2y2+y4x2y2= \frac{(x^2+y^2)^2}{(xy)^2} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{x^2y^2}

2) (mn2+1)2−(mn2−1)2\left(\frac{m}{n^2} + 1\right)^2 - \left(\frac{m}{n^2} - 1\right)^2

Тут доцільно застосувати тотожність (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2-(x-y)^2=4xy, де x=mn2x = \frac{m}{n^2}, а y=1y = 1.

4⋅mn2⋅1=4mn2 4 \cdot \frac{m}{n^2} \cdot 1 = \frac{4m}{n^2}