ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1035

Помітимо, що $4^n = (2^n)^2$ — це точний квадрат.

Знайдемо попередній точний квадрат: $(2^n - 1)^2 = (2^n)^2 - 2 \cdot 2^n \cdot 1 + 1^2 = 4^n - 2^{n+1} + 1.$

Для $n > 1$ маємо $2^{n+1} > 4,$ отже $4^n - 2^{n+1} + 1 < 4^n - 4 + 1 = 4^n - 3.$

Отримали нерівність: $(2^n - 1)^2 < 4^n - 3 < (2^n)^2.$

Оскільки число $4^n - 3$ знаходиться між двома сусідніми квадратами натуральних чисел, воно не може саме бути квадратом. Доведено.

• Крок 1: Число $4^n$ можна записати як $(2^n)^2.$ Це означає, що воно саме є квадратом якогось натурального числа.
• Крок 2: Наше число $4^n - 3$ трохи менше за цей квадрат. Давайте подивимося на попередній до нього квадрат — це $(2^n - 1)^2.$
• Крок 3: Розкривши дужки за формулою, ми бачимо, що наш вираз $4^n - 3$ завжди більший за $(2^n - 1)^2,$ але менший за $(2^n)^2.$
• Оскільки між двома сусідніми квадратами (наприклад, 16 і 25) більше немає жодного цілого квадрата, наше число бути квадратом не може.