ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 359
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 359
Знайдіть значення x, для якого справджується рівність:
$$1) 3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+x};$$
$$2) 2^7 \cdot 2^8 = 2^{1+x};$$
$$3) 4^x \cdot 4^5 = 4^8;$$
$$4) 9^8 : 9^x = 9^5.$$
Розв'язок вправи № 359
Короткий розв'язок
$$1) 3^7 = 3^{5+x} \Rightarrow 7 = 5+x \Rightarrow x = 2$$
$$2) 2^{15} = 2^{1+x} \Rightarrow 15 = 1+x \Rightarrow x = 14$$
$$3) 4^{x+5} = 4^8 \Rightarrow x+5=8 \Rightarrow x = 3$$
$$4) 9^{8-x} = 9^5 \Rightarrow 8-x=5 \Rightarrow x = 3$$
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Щоб розв'язати ці рівняння, потрібно звести обидві частини до степеня з однаковою основою. Якщо основи степенів рівні, то й їх показники також рівні. Це дозволяє прирівняти показники і розв'язати просте лінійне рівняння.
1) Спрощуємо ліву частину за правилом множення степенів (додаємо показники):
$$3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7$$
Тепер рівняння має вигляд:
$$3^7 = 3^{5+x}$$
Прирівнюємо показники:
$$7 = 5+x$$
$$x = 7-5 = 2$$
2) Спрощуємо ліву частину:
$$2^7 \cdot 2^8 = 2^{7+8} = 2^{15}$$
Прирівнюємо показники обох частин рівняння:
$$15 = 1+x$$
$$x = 15-1 = 14$$
3) Спрощуємо ліву частину:
$$4^x \cdot 4^5 = 4^{x+5}$$
Прирівнюємо показники:
$$x+5=8$$
$$x = 8-5 = 3$$
4) Спрощуємо ліву частину за правилом ділення степенів (віднімаємо показники):
$$9^8 : 9^x = 9^{8-x}$$
Прирівнюємо показники:
$$8-x=5$$
$$x = 8-5 = 3$$
