ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 779
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О.С. Істер.
Умова вправи № 779
Нехай $a_1; a_2; a_3$ — натуральні числа, $b_1; b_2; b_3$ — ці самі числа, записані в іншому порядку. Доведіть, що добуток $|a_1 - b_1| \cdot |a_2 - b_2| \cdot |a_3 - b_3|$ є парним числом.
Розв'язок вправи № 779
Коротке рішення
1) Розглянемо суму трьох різниць: $(a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + (a_3 - b_3)$.
2) Оскільки набори чисел $\{a_i\}$ та $\{b_i\}$ однакові, то $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$.
3) Отже, сума $(a_1 + a_2 + a_3) - (b_1 + b_2 + b_3) = 0$.
4) Число 0 — парне. Сума трьох цілих чисел може бути парною лише тоді, коли або всі вони парні, або два з них непарні, а одне — парне.
5) В обох випадках хоча б одна з різниць $(a_i - b_i)$ є парною. Тоді й модуль цієї різниці — парне число.
6) Добуток трьох цілих чисел, де хоча б один множник парний, завжди є парним числом. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Це завдання на властивості парності та аналіз буквених виразів. Головна ідея полягає в тому, що якщо сума кількох чисел є парною, то кількість непарних доданків у цій сумі має бути парною (0 або 2). Це гарантує наявність хоча б одного парного множника в добутку. Теорія: Що таке буквений вираз?
- Ми знаємо, що від перестановки доданків сума не змінюється. Якщо ми від суми чисел $a$ віднімемо суму тих самих чисел $b$, ми отримаємо нуль.
- Різниця двох чисел $a_i - b_i$ має таку саму парність, як і сума цих чисел.
- Оскільки загальна сума різниць дорівнює парному числу (нулю), неможливо, щоб усі три різниці були непарними (бо сума трьох непарних чисел — завжди непарна).
- Отже, принаймні один із множників $|a_i - b_i|$ є парним, що робить весь добуток парним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.