ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №1.21
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 1.21
Доведіть, що для будь-якого значення змінної значення дробу:
1) $\frac{7}{a^2+1}$ є додатним;
2) $\frac{4}{-p^2-2}$ є від'ємним;
3) $\frac{(a+1)^2}{a^2+7}$ є невід'ємним;
4) $\frac{-(p^2-4)^2}{p^4+1}$ є недодатним.
Розв'язок вправи № 1.21
Короткий розв'язок
1) Чисельник $7>0$. Знаменник $a^2 \ge 0 \implies a^2+1 > 0$. Отже, $\frac{+}{+} > 0$. Додатний.
2) Чисельник $4>0$. Знаменник $-p^2-2 = -(p^2+2) < 0$. Отже, $\frac{+}{-} < 0$. Від'ємний.
3) Чисельник $(a+1)^2 \ge 0$. Знаменник $a^2 \ge 0 \implies a^2+7 > 0$. Отже, $\frac{\ge 0}{+} \ge 0$. Невід'ємний.
4) Чисельник $-(p^2-4)^2 \le 0$. Знаменник $p^4 \ge 0 \implies p^4+1 > 0$. Отже, $\frac{\le 0}{+} \le 0$. Недодатний.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: доведення базується на властивостях степенів та виразів. Квадрат будь-якого числа $x^2$ завжди невід'ємний ($x^2 \ge 0$). Парний степінь будь-якого числа також невід'ємний. Вирази $x^2+k$ або $x^4+k$, де $k$ — додатне число, завжди є строго додатними.
1) $\frac{7}{a^2+1}$
Чисельник $7$ є додатним числом.
Розглянемо знаменник: $a^2$ є невід'ємним для будь-якого $a$ ($a^2 \ge 0$). Тому $a^2+1$ завжди більше або дорівнює $1$, тобто $a^2+1 > 0$.
Частка двох додатних чисел є числом додатним. Отже, дріб завжди додатний.
2) $\frac{4}{-p^2-2}$
Чисельник $4$ є додатним числом.
Розглянемо знаменник: $-p^2-2 = -(p^2+2)$. Оскільки $p^2 \ge 0$, то $p^2+2 > 0$. Тоді $-(p^2+2) < 0$.
Частка додатного числа і від'ємного є числом від'ємним. Отже, дріб завжди від'ємний.
3) $\frac{(a+1)^2}{a^2+7}$
Чисельник $(a+1)^2$ є квадратом виразу, тому він завжди невід'ємний, тобто $(a+1)^2 \ge 0$. (Він дорівнює нулю при $a=-1$).
Знаменник $a^2+7$ завжди додатний, оскільки $a^2 \ge 0$.
Частка невід'ємного числа і додатного є невід'ємним числом. Отже, дріб завжди невід'ємний.
4) $\frac{-(p^2-4)^2}{p^4+1}$
Розглянемо чисельник. Вираз $(p^2-4)^2$ завжди невід'ємний. Знак мінус перед ним робить увесь чисельник $-(p^2-4)^2$ недодатним (меншим або рівним нулю). (Він дорівнює нулю при $p=\pm2$).
Знаменник $p^4+1$ завжди додатний, оскільки $p^4 \ge 0$.
Частка недодатного числа і додатного є недодатним числом. Отже, дріб завжди недодатний.
