ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №1.21

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 1.21

Доведіть, що для будь-якого значення змінної значення дробу:

1) $\frac{7}{a^2+1}$ є додатним;

2) $\frac{4}{-p^2-2}$ є від'ємним;

3) $\frac{(a+1)^2}{a^2+7}$ є невід'ємним;

4) $\frac{-(p^2-4)^2}{p^4+1}$ є недодатним.

Розв'язок вправи № 1.21

Короткий розв'язок

1) Чисельник $7>0$ . Знаменник $a^2 \ge 0 \implies a^2+1 > 0$ . Отже, $\frac{+}{+} > 0$ . Додатний.

2) Чисельник $4>0$ . Знаменник $-p^2-2 = -(p^2+2) < 0$ . Отже, $\frac{+}{-} < 0$ . Від'ємний.

3) Чисельник $(a+1)^2 \ge 0$ . Знаменник $a^2 \ge 0 \implies a^2+7 > 0$ . Отже, $\frac{\ge 0}{+} \ge 0$ . Невід'ємний.

4) Чисельник $-(p^2-4)^2 \le 0$ . Знаменник $p^4 \ge 0 \implies p^4+1 > 0$ . Отже, $\frac{\le 0}{+} \le 0$ . Недодатний.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: доведення базується на властивостях степенів та виразів. Квадрат будь-якого числа $x^2$ завжди невід'ємний ( $x^2 \ge 0$ ). Парний степінь будь-якого числа також невід'ємний. Вирази $x^2+k$ або $x^4+k$ , де $k$ — додатне число, завжди є строго додатними.

1) $\frac{7}{a^2+1}$

Чисельник $7$ є додатним числом.

Розглянемо знаменник: $a^2$ є невід'ємним для будь-якого $a$ ( $a^2 \ge 0$ ). Тому $a^2+1$ завжди більше або дорівнює $1$ , тобто $a^2+1 > 0$ .

Частка двох додатних чисел є числом додатним. Отже, дріб завжди додатний.

2) $\frac{4}{-p^2-2}$

Чисельник $4$ є додатним числом.

Розглянемо знаменник: $-p^2-2 = -(p^2+2)$ . Оскільки $p^2 \ge 0$ , то $p^2+2 > 0$ . Тоді $-(p^2+2) < 0$ .

Частка додатного числа і від'ємного є числом від'ємним. Отже, дріб завжди від'ємний.

3) $\frac{(a+1)^2}{a^2+7}$

Чисельник $(a+1)^2$ є квадратом виразу, тому він завжди невід'ємний, тобто $(a+1)^2 \ge 0$ . (Він дорівнює нулю при $a=-1$ ).

Знаменник $a^2+7$ завжди додатний, оскільки $a^2 \ge 0$ .

Частка невід'ємного числа і додатного є невід'ємним числом. Отже, дріб завжди невід'ємний.

4) $\frac{-(p^2-4)^2}{p^4+1}$

Розглянемо чисельник. Вираз $(p^2-4)^2$ завжди невід'ємний. Знак мінус перед ним робить увесь чисельник $-(p^2-4)^2$ недодатним (меншим або рівним нулю). (Він дорівнює нулю при $p=\pm2$ ).

Знаменник $p^4+1$ завжди додатний, оскільки $p^4 \ge 0$ .

Частка недодатного числа і додатного є недодатним числом. Отже, дріб завжди недодатний.