ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №1.19
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 1.19
Знайдіть область визначення виразу:
1) $\frac{12}{x(x+2)-4x-8}$; 2) $\frac{m}{4-|m|}$; 3) $\frac{7}{\frac{1}{x}+1}$; 4) $\frac{2a}{|a+2|-3}$.
Розв'язок вправи № 1.19
Короткий розв'язок
1) $x(x+2)-4x-8 \neq 0 \implies (x+2)(x-4) \neq 0 \implies x \neq -2; x \neq 4$.
2) $4-|m| \neq 0 \implies |m| \neq 4 \implies m \neq 4; m \neq -4$.
3) $x \neq 0$ та $\frac{1}{x}+1 \neq 0 \implies \frac{1+x}{x} \neq 0 \implies x \neq -1$. Отже, $x \neq 0; x \neq -1$.
4) $|a+2|-3 \neq 0 \implies |a+2| \neq 3 \implies a \neq 1; a \neq -5$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: область визначення виразу — це множина всіх допустимих значень змінної. Для дробових виразів потрібно знайти всі значення, які перетворюють будь-який знаменник на нуль, і виключити їх.
1) $\frac{12}{x(x+2)-4x-8}$
Спростимо знаменник, розклавши його на множники:
Знаменник не повинен дорівнювати нулю: $(x+2)(x-4) \neq 0$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Область визначення: усі числа, крім $-2$ та $4$.
2) $\frac{m}{4-|m|}$
Знаменник не дорівнює нулю: $4-|m| \neq 0 \implies |m| \neq 4$.
Це означає, що $m \neq 4$ та $m \neq -4$.
Область визначення: усі числа, крім $4$ та $-4$.
3) $\frac{7}{\frac{1}{x}+1}$
Маємо два знаменники. Перший — у виразі $\frac{1}{x}$, тому $x \neq 0$.
Другий — $\frac{1}{x}+1$. Він не повинен дорівнювати нулю: $\frac{1}{x}+1 \neq 0 \implies \frac{1}{x} \neq -1 \implies x \neq -1$.
Область визначення: усі числа, крім $0$ та $-1$.
4) $\frac{2a}{|a+2|-3}$
Знаменник не дорівнює нулю: $|a+2|-3 \neq 0 \implies |a+2| \neq 3$.
Це означає, що:
$a+2 \neq 3 \implies a \neq 1$.
$a+2 \neq -3 \implies a \neq -5$.
Область визначення: усі числа, крім $1$ та $-5$.
