ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №1.30
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 1.30
Скільки існує двоцифрових натуральних чисел, які дорівнюють сумі добутку й суми своїх цифр?
Розв'язок вправи № 1.30
Короткий розв'язок
Числа: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99. Всього 9 чисел.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: будь-яке двоцифрове число можна подати у вигляді $10a+b$, де $a$ — цифра десятків ($a \in \{1, ..., 9\}$), а $b$ — цифра одиниць ($b \in \{0, ..., 9\}$). Складемо рівняння згідно з умовою задачі.
1. Складемо рівняння.
Нехай наше число — це $10a+b$. Сума його цифр — $a+b$, а добуток його цифр — $a \cdot b$. За умовою, число дорівнює сумі добутку і суми його цифр:
2. Розв'яжемо рівняння.
Розкриємо дужки і спростимо вираз:
Віднімемо $b$ від обох частин рівняння:
Перенесемо $a$ в ліву частину:
Оскільки $a$ — це перша цифра двоцифрового числа, вона не може дорівнювати нулю ($a \neq 0$). Тому ми можемо поділити обидві частини рівняння на $a$:
3. Знайдемо всі такі числа.
Ми з'ясували, що друга цифра ($b$) будь-якого такого числа має бути 9. Перша цифра ($a$) може бути будь-якою від 1 до 9.
Отже, шукані числа:
19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.
Всього таких чисел 9.
Відповідь: існує 9 таких чисел.
