ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №1.30

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Умова вправи № 1.30

Скільки існує двоцифрових натуральних чисел, які дорівнюють сумі добутку й суми своїх цифр?

Розв'язок вправи № 1.30

Короткий розв'язок

10a+b = (a \cdot b) + (a+b)

10a+b = ab + a + b

9a = ab

b = 9 \quad (\text{оскільки } a \neq 0)

Числа: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99. Всього 9 чисел.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: будь-яке двоцифрове число можна подати у вигляді $10a+b$ , де $a$ — цифра десятків ( $a \in \{1, ..., 9\}$ ), а $b$ — цифра одиниць ( $b \in \{0, ..., 9\}$ ). Складемо рівняння згідно з умовою задачі.

1. Складемо рівняння.

Нехай наше число — це $10a+b$ . Сума його цифр — $a+b$ , а добуток його цифр — $a \cdot b$ . За умовою, число дорівнює сумі добутку і суми його цифр:

10a+b = (a \cdot b) + (a+b)

2. Розв'яжемо рівняння.

Розкриємо дужки і спростимо вираз:

10a+b = ab + a + b

Віднімемо $b$ від обох частин рівняння:

10a = ab + a

Перенесемо $a$ в ліву частину:

10a - a = ab

9a = ab

Оскільки $a$ — це перша цифра двоцифрового числа, вона не може дорівнювати нулю ( $a \neq 0$ ). Тому ми можемо поділити обидві частини рівняння на $a$ :

b = 9

3. Знайдемо всі такі числа.

Ми з'ясували, що друга цифра ( $b$ ) будь-якого такого числа має бути 9. Перша цифра ( $a$ ) може бути будь-якою від 1 до 9.

Отже, шукані числа:

19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Всього таких чисел 9.

Відповідь: існує 9 таких чисел.