До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №3.16

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 3.16

Доведіть тотожність:

1) (a−b)22ab−(a+b)22ab=−2\frac{(a-b)^2}{2ab}-\frac{(a+b)^2}{2ab}=-2;    2) (a+b)2a2+b2+(a−b)2a2+b2=2\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2.

Розв'язок вправи № 3.16

Короткий розв'язок

1) (a−b)2−(a+b)22ab=(a−b−a−b)(a−b+a+b)2ab=−2b⋅2a2ab=−4ab2ab=−2\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2ab} = \frac{(a-b-a-b)(a-b+a+b)}{2ab} = \frac{-2b \cdot 2a}{2ab} = \frac{-4ab}{2ab} = -2.

2) a2+2ab+b2+a2−2ab+b2a2+b2=2a2+2b2a2+b2=2(a2+b2)a2+b2=2\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай лівої) так, щоб вона стала ідентичною іншій частині. Для цього використовуємо дії з дробами та формули скороченого множення.

1) Доведемо тотожність (a−b)22ab−(a+b)22ab=−2\frac{(a-b)^2}{2ab}-\frac{(a+b)^2}{2ab}=-2

Перетворимо ліву частину:

(a−b)2−(a+b)22ab=(a2−2ab+b2)−(a2+2ab+b2)2ab\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2ab} = \frac{(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)}{2ab}

=a2−2ab+b2−a2−2ab−b22ab=−4ab2ab=−2= \frac{a^2-2ab+b^2-a^2-2ab-b^2}{2ab} = \frac{-4ab}{2ab} = -2

−2=−2-2 = -2. Тотожність доведено.

2) Доведемо тотожність (a+b)2a2+b2+(a−b)2a2+b2=2\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2

Перетворимо ліву частину:

(a+b)2+(a−b)2a2+b2=a2+2ab+b2+a2−2ab+b2a2+b2\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}

=2a2+2b2a2+b2=2(a2+b2)a2+b2=2= \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2

2=22 = 2. Тотожність доведено.