ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №3.16
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 3.16
Доведіть тотожність:
1) $\frac{(a-b)^2}{2ab}-\frac{(a+b)^2}{2ab}=-2$; 2) $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2$.
Розв'язок вправи № 3.16
Короткий розв'язок
1) $\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2ab} = \frac{(a-b-a-b)(a-b+a+b)}{2ab} = \frac{-2b \cdot 2a}{2ab} = \frac{-4ab}{2ab} = -2$.
2) $\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай лівої) так, щоб вона стала ідентичною іншій частині. Для цього використовуємо дії з дробами та формули скороченого множення.
1) Доведемо тотожність $\frac{(a-b)^2}{2ab}-\frac{(a+b)^2}{2ab}=-2$
Перетворимо ліву частину:
$\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2ab} = \frac{(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)}{2ab}$
$= \frac{a^2-2ab+b^2-a^2-2ab-b^2}{2ab} = \frac{-4ab}{2ab} = -2$
$-2 = -2$. Тотожність доведено.
2) Доведемо тотожність $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2$
Перетворимо ліву частину:
$\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}$
$= \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2$
$2 = 2$. Тотожність доведено.
