До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 5.11

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте множення:

1) a2+2a5⋅a4a+8\frac{a^2+2a}{5} \cdot \frac{a}{4a+8};    2) 7ma⋅a2−ab21\frac{7m}{a} \cdot \frac{a^2-ab}{21};

3) 2a−b10a⋅15a2b−2a\frac{2a-b}{10a} \cdot \frac{15a^2}{b-2a};    4) 10abx+y⋅x2−y25ab\frac{10ab}{x+y} \cdot \frac{x^2-y^2}{5ab};

5) −ab−ac10p⋅25pxc−xb-\frac{ab-ac}{10p} \cdot \frac{25p}{xc-xb};    6) a2+abx2⋅xya2+2ab+b2\frac{a^2+ab}{x^2} \cdot \frac{xy}{a^2+2ab+b^2}.

Короткий розв'язок

1) a(a+2)⋅a5⋅4(a+2)=a220\frac{a(a+2) \cdot a}{5 \cdot 4(a+2)} = \frac{a^2}{20}

2) 7m⋅a(a−b)a⋅21=m(a−b)3\frac{7m \cdot a(a-b)}{a \cdot 21} = \frac{m(a-b)}{3}

3) (2a−b)⋅15a210a⋅(−(2a−b))=−3a2\frac{(2a-b) \cdot 15a^2}{10a \cdot (-(2a-b))} = -\frac{3a}{2}

4) 10ab⋅(x−y)(x+y)(x+y)⋅5ab=2(x−y)\frac{10ab \cdot (x-y)(x+y)}{(x+y) \cdot 5ab} = 2(x-y)

5) a(c−b)⋅25p10p⋅x(c−b)=5a2x\frac{a(c-b) \cdot 25p}{10p \cdot x(c-b)} = \frac{5a}{2x}

6) a(a+b)⋅xyx2⋅(a+b)2=ayx(a+b)\frac{a(a+b) \cdot xy}{x^2 \cdot (a+b)^2} = \frac{ay}{x(a+b)}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Перед множенням дробів необхідно розкласти многочлени в чисельниках і знаменниках на множники, винісши спільний множник за дужки або використовуючи формули скороченого множення. Це дозволить виконати скорочення і спростити вираз. Більше про раціональні вирази в довіднику.

1) a2+2a5⋅a4a+8\frac{a^2+2a}{5} \cdot \frac{a}{4a+8}

a(a+2)5⋅a4(a+2)=\frac{a(a+2)}{5} \cdot \frac{a}{4(a+2)} =
=a(a+2)⋅a5⋅4(a+2)=a220= \frac{a(a+2) \cdot a}{5 \cdot 4(a+2)} = \frac{a^2}{20}

2) 7ma⋅a2−ab21\frac{7m}{a} \cdot \frac{a^2-ab}{21}

7ma⋅a(a−b)21=\frac{7m}{a} \cdot \frac{a(a-b)}{21} =
=7m⋅a(a−b)a⋅21=m(a−b)3= \frac{7m \cdot a(a-b)}{a \cdot 21} = \frac{m(a-b)}{3}

3) 2a−b10a⋅15a2b−2a\frac{2a-b}{10a} \cdot \frac{15a^2}{b-2a}

Винесемо -1 за дужки у знаменнику другого дробу: b−2a=−(2a−b)b-2a = -(2a-b).

2a−b10a⋅15a2−(2a−b)=\frac{2a-b}{10a} \cdot \frac{15a^2}{-(2a-b)} =
=−(2a−b)⋅15a210a⋅(2a−b)=−15a210a=−3a2= -\frac{(2a-b) \cdot 15a^2}{10a \cdot (2a-b)} = -\frac{15a^2}{10a} = -\frac{3a}{2}

4) 10abx+y⋅x2−y25ab\frac{10ab}{x+y} \cdot \frac{x^2-y^2}{5ab}

Використаємо формулу різниці квадратів: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2 = (x-y)(x+y).

10abx+y⋅(x−y)(x+y)5ab=\frac{10ab}{x+y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{5ab} =
=10ab⋅(x−y)(x+y)(x+y)⋅5ab=2(x−y)= \frac{10ab \cdot (x-y)(x+y)}{(x+y) \cdot 5ab} = 2(x-y)

5) −ab−ac10p⋅25pxc−xb-\frac{ab-ac}{10p} \cdot \frac{25p}{xc-xb}

Розкладемо на множники: ab−ac=a(b−c)ab-ac = a(b-c) та xc−xb=x(c−b)=−x(b−c)xc-xb = x(c-b) = -x(b-c).

−a(b−c)10p⋅25p−x(b−c)=-\frac{a(b-c)}{10p} \cdot \frac{25p}{-x(b-c)} =
=a(b−c)⋅25p10p⋅x(b−c)=25a10x=5a2x= \frac{a(b-c) \cdot 25p}{10p \cdot x(b-c)} = \frac{25a}{10x} = \frac{5a}{2x}

6) a2+abx2⋅xya2+2ab+b2\frac{a^2+ab}{x^2} \cdot \frac{xy}{a^2+2ab+b^2}

Використаємо формулу квадрата суми: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2.

a(a+b)x2⋅xy(a+b)2=\frac{a(a+b)}{x^2} \cdot \frac{xy}{(a+b)^2} =
=a(a+b)⋅xyx2⋅(a+b)(a+b)=ayx(a+b)= \frac{a(a+b) \cdot xy}{x^2 \cdot (a+b)(a+b)} = \frac{ay}{x(a+b)}