До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.17

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть значення виразу:

1) (a2y35)3:(−a3y425)2\left(\frac{a^2y^3}{5}\right)^3 : \left(-\frac{a^3y^4}{25}\right)^2, якщо a=11713,y=0,02a = 117\frac{1}{3}, y = 0,02;

2) (2x−y)2(x−2y)2:4x2−y2x2−4y2\frac{(2x-y)^2}{(x-2y)^2} : \frac{4x^2-y^2}{x^2-4y^2}, якщо x=4,2,y=1,6x = 4,2, y = 1,6.

Короткий розв'язок

1) a6y9125:a6y8625=a6y9125⋅625a6y8=5y\frac{a^6y^9}{125} : \frac{a^6y^8}{625} = \frac{a^6y^9}{125} \cdot \frac{625}{a^6y^8} = 5y.
Якщо y=0,02y=0,02, то 5⋅0,02=0,15 \cdot 0,02 = 0,1.

2) (2x−y)2(x−2y)2⋅x2−4y24x2−y2=(2x−y)2(x−2y)2⋅(x−2y)(x+2y)(2x−y)(2x+y)=(2x−y)(x+2y)(x−2y)(2x+y)\frac{(2x-y)^2}{(x-2y)^2} \cdot \frac{x^2-4y^2}{4x^2-y^2} = \frac{(2x-y)^2}{(x-2y)^2} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{(2x-y)(2x+y)} = \frac{(2x-y)(x+2y)}{(x-2y)(2x+y)}.
Якщо x=4,2,y=1,6x=4,2, y=1,6, то (8,4−1,6)(4,2+3,2)(4,2−3,2)(8,4+1,6)=6,8⋅7,41⋅10=5,032\frac{(8,4-1,6)(4,2+3,2)}{(4,2-3,2)(8,4+1,6)} = \frac{6,8 \cdot 7,4}{1 \cdot 10} = 5,032.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Найефективніший спосіб вирішення цих завдань — це максимальне спрощення виразу перед підстановкою числових значень. Ми будемо використовувати властивості степенів для першого виразу та формули скороченого множення для другого, а також правило ділення дробів.

1) (a2y35)3:(−a3y425)2\left(\frac{a^2y^3}{5}\right)^3 : \left(-\frac{a^3y^4}{25}\right)^2

Спочатку піднесемо кожен дріб до степеня.

(a2)3(y3)353:(−1)2(a3)2(y4)2252= \frac{(a^2)^3(y^3)^3}{5^3} : \frac{(-1)^2(a^3)^2(y^4)^2}{25^2} =
=a6y9125:a6y8625= = \frac{a^6y^9}{125} : \frac{a^6y^8}{625} =

Тепер замінимо ділення на множення, перевернувши другий дріб.

=a6y9125⋅625a6y8= = \frac{a^6y^9}{125} \cdot \frac{625}{a^6y^8} =

Скорочуємо однакові множники a6a^6, а також y9y^9 і y8y^8 (залишається yy), і числові коефіцієнти 625625 і 125125 (залишається 55).

=5y = 5y

Як бачимо, значення виразу не залежить від aa. Підставимо y=0,02y = 0,02.

5⋅0,02=0,1 5 \cdot 0,02 = 0,1

2) (2x−y)2(x−2y)2:4x2−y2x2−4y2\frac{(2x-y)^2}{(x-2y)^2} : \frac{4x^2-y^2}{x^2-4y^2}

Перетворимо ділення на множення.

=(2x−y)2(x−2y)2⋅x2−4y24x2−y2= = \frac{(2x-y)^2}{(x-2y)^2} \cdot \frac{x^2-4y^2}{4x^2-y^2} =

Розкладемо чисельник і знаменник другого дробу за формулою різниці квадратів.

=(2x−y)2(x−2y)2⋅(x−2y)(x+2y)(2x−y)(2x+y)= = \frac{(2x-y)^2}{(x-2y)^2} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{(2x-y)(2x+y)} =

Скорочуємо спільні множники (2x−y)(2x-y) та (x−2y)(x-2y).

=2x−yx−2y⋅x+2y2x+y=(2x−y)(x+2y)(x−2y)(2x+y) = \frac{2x-y}{x-2y} \cdot \frac{x+2y}{2x+y} = \frac{(2x-y)(x+2y)}{(x-2y)(2x+y)}

Тепер підставимо значення x=4,2x = 4,2 та y=1,6y = 1,6.

(2⋅4,2−1,6)(4,2+2⋅1,6)(4,2−2⋅1,6)(2⋅4,2+1,6)= \frac{(2 \cdot 4,2 - 1,6)(4,2 + 2 \cdot 1,6)}{(4,2 - 2 \cdot 1,6)(2 \cdot 4,2 + 1,6)} =
=(8,4−1,6)(4,2+3,2)(4,2−3,2)(8,4+1,6)=6,8⋅7,41⋅10=50,3210=5,032 = \frac{(8,4 - 1,6)(4,2 + 3,2)}{(4,2 - 3,2)(8,4 + 1,6)} = \frac{6,8 \cdot 7,4}{1 \cdot 10} = \frac{50,32}{10} = 5,032