ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.19

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність $\frac{m^3+27}{75m^2-12} : \frac{\frac{1}{3}m^2-m+3}{m-0,4} = \frac{m+3}{25m+10}$.

Короткий розв'язок

$\frac{m^3+27}{75m^2-12} \cdot \frac{m-0,4}{\frac{1}{3}m^2-m+3} = \frac{(m+3)(m^2-3m+9)}{3(5m-2)(5m+2)} \cdot \frac{3(m-0,4)}{m^2-3m+9} = \frac{m+3}{(5m-2)(5m+2)} \cdot (m-0,4) = \frac{m+3}{(5m-2)(5m+2)} \cdot \frac{5m-2}{5} = \frac{m+3}{5(5m+2)} = \frac{m+3}{25m+10}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай більш складної) і звести її до вигляду іншої частини. Ми будемо спрощувати ліву частину, застосовуючи ділення дробів та розкладаючи многочлени на множники за допомогою формул скороченого множення (сума кубів, різниця квадратів).

Перетворимо ліву частину тотожності. Спочатку замінимо ділення на множення, перевернувши дріб-дільник.

$$ \frac{m^3+27}{75m^2-12} : \frac{\frac{1}{3}m^2-m+3}{m-0,4} = \frac{m^3+27}{75m^2-12} \cdot \frac{m-0,4}{\frac{1}{3}m^2-m+3} = $$

Тепер розкладемо на множники чисельники і знаменники кожного дробу.

1) $m^3+27 = (m+3)(m^2-3m+9)$ (сума кубів)

2) $75m^2-12 = 3(25m^2-4) = 3(5m-2)(5m+2)$ (винесення множника і різниця квадратів)

3) $\frac{1}{3}m^2-m+3 = \frac{1}{3}(m^2-3m+9)$ (винесення множника)

4) $m-0,4 = m - \frac{4}{10} = m - \frac{2}{5} = \frac{5m-2}{5}$

Підставимо розкладені вирази назад у вираз.

$$ = \frac{(m+3)(m^2-3m+9)}{3(5m-2)(5m+2)} \cdot \frac{\frac{5m-2}{5}}{\frac{1}{3}(m^2-3m+9)} = $$

Скорочуємо спільний множник $(m^2-3m+9)$.

$$ = \frac{m+3}{3(5m-2)(5m+2)} \cdot \frac{\frac{5m-2}{5}}{\frac{1}{3}} = $$

Виконаємо ділення дробів у другому множнику.