До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.24

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність: 11+x+11−x+21+x2+41+x4=81−x8\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{8}{1-x^8}.

Короткий розв'язок

1−x+1+x(1+x)(1−x)+21+x2+41+x4=21−x2+21+x2+41+x4=\frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4} =

=2(1+x2)+2(1−x2)(1−x2)(1+x2)+41+x4=41−x4+41+x4== \frac{2(1+x^2)+2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4} =

=4(1+x4)+4(1−x4)(1−x4)(1+x4)=81−x8= \frac{4(1+x^4)+4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} = \frac{8}{1-x^8}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення цієї тотожності ми будемо послідовно спрощувати ліву частину, виконуючи додавання дробів по парах. На кожному кроці будемо використовувати формулу різниці квадратів: (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Перетворимо ліву частину тотожності, виконуючи дії покроково.

Крок 1: Додамо перші два дроби.

11+x+11−x=1⋅(1−x)+1⋅(1+x)(1+x)(1−x)= \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{1 \cdot (1-x) + 1 \cdot (1+x)}{(1+x)(1-x)} =
=1−x+1+x1−x2=21−x2 = \frac{1-x+1+x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}

Крок 2: Додамо результат першого кроку до третього дробу.

Тепер наш вираз має вигляд: 21−x2+21+x2+41+x4\frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4}.

21−x2+21+x2=2(1+x2)+2(1−x2)(1−x2)(1+x2)= \frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{2(1+x^2) + 2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} =
=2+2x2+2−2x21−(x2)2=41−x4 = \frac{2+2x^2+2-2x^2}{1-(x^2)^2} = \frac{4}{1-x^4}

Крок 3: Додамо результат другого кроку до четвертого дробу.

Вираз набув вигляду: 41−x4+41+x4\frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4}.

41−x4+41+x4=4(1+x4)+4(1−x4)(1−x4)(1+x4)= \frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{4(1+x^4) + 4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} =
=4+4x4+4−4x41−(x4)2=81−x8 = \frac{4+4x^4+4-4x^4}{1-(x^4)^2} = \frac{8}{1-x^8}

Ми перетворили ліву частину тотожності у праву: 81−x8=81−x8\frac{8}{1-x^8} = \frac{8}{1-x^8}.

Тотожність доведено.