ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.23

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Обчисліть значення дробу:

1) $\frac{m^2+6mn+9n^2}{(2m+6n)^2}$ , якщо $m = 2\frac{1}{13}, n = -2\frac{1}{7}$ ;

2) $\frac{0,1x^2-2,5y^2}{x^2+10xy+25y^2}$ , якщо $x = 100, y = 20$ .

Короткий розв'язок

1) $\frac{(m+3n)^2}{(2(m+3n))^2} = \frac{(m+3n)^2}{4(m+3n)^2} = \frac{1}{4}$ .

2) $\frac{0,1(x^2-25y^2)}{(x+5y)^2} = \frac{0,1(x-5y)(x+5y)}{(x+5y)^2} = \frac{0,1(x-5y)}{x+5y}$ .
Якщо $x=100, y=20$ : $\frac{0,1(100-5 \cdot 20)}{100+5 \cdot 20} = \frac{0,1(100-100)}{100+100} = \frac{0}{200} = 0$ .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Перш ніж підставляти числові значення, слід максимально спростити вихідний дріб. Для цього ми застосуємо формули скороченого множення (квадрат суми, різниця квадратів) та винесення спільного множника за дужки.

1) $\frac{m^2+6mn+9n^2}{(2m+6n)^2}$

Звернемо увагу, що чисельник є повним квадратом суми: $m^2+2\cdot m \cdot (3n) + (3n)^2 = (m+3n)^2$ .

У знаменнику винесемо спільний множник 2 за дужки.

= \frac{(m+3n)^2}{(2(m+3n))^2} =

Розкриємо дужки в знаменнику за властивістю степеня $(ab)^n = a^n b^n$ .

= \frac{(m+3n)^2}{2^2(m+3n)^2} = \frac{(m+3n)^2}{4(m+3n)^2} =

Скоротимо дріб на спільний множник $(m+3n)^2$ .

= \frac{1}{4}

Результат не залежить від значень $m$ та $n$ .

2) $\frac{0,1x^2-2,5y^2}{x^2+10xy+25y^2}$

У чисельнику винесемо за дужки спільний множник $0,1$ .

\frac{0,1(x^2-25y^2)}{x^2+10xy+25y^2} =

Знаменник є повним квадратом суми: $x^2+2\cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x+5y)^2$ .

Вираз у дужках в чисельнику є різницею квадратів: $x^2-(5y)^2 = (x-5y)(x+5y)$ .

= \frac{0,1(x-5y)(x+5y)}{(x+5y)^2} =

Скоротимо дріб на спільний множник $(x+5y)$ .

= \frac{0,1(x-5y)}{x+5y}

Тепер підставимо значення $x=100$ та $y=20$ у спрощений вираз.

\frac{0,1(100 - 5 \cdot 20)}{100 + 5 \cdot 20} = \frac{0,1(100 - 100)}{100 + 100} = \frac{0,1 \cdot 0}{200} = 0