ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 6.23
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Обчисліть значення дробу:
1) $\frac{m^2+6mn+9n^2}{(2m+6n)^2}$, якщо $m = 2\frac{1}{13}, n = -2\frac{1}{7}$;
2) $\frac{0,1x^2-2,5y^2}{x^2+10xy+25y^2}$, якщо $x = 100, y = 20$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{(m+3n)^2}{(2(m+3n))^2} = \frac{(m+3n)^2}{4(m+3n)^2} = \frac{1}{4}$.
2) $\frac{0,1(x^2-25y^2)}{(x+5y)^2} = \frac{0,1(x-5y)(x+5y)}{(x+5y)^2} = \frac{0,1(x-5y)}{x+5y}$.
Якщо $x=100, y=20$: $\frac{0,1(100-5 \cdot 20)}{100+5 \cdot 20} = \frac{0,1(100-100)}{100+100} = \frac{0}{200} = 0$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Перш ніж підставляти числові значення, слід максимально спростити вихідний дріб. Для цього ми застосуємо формули скороченого множення (квадрат суми, різниця квадратів) та винесення спільного множника за дужки.
1) $\frac{m^2+6mn+9n^2}{(2m+6n)^2}$
Звернемо увагу, що чисельник є повним квадратом суми: $m^2+2\cdot m \cdot (3n) + (3n)^2 = (m+3n)^2$.
У знаменнику винесемо спільний множник 2 за дужки.
Розкриємо дужки в знаменнику за властивістю степеня $(ab)^n = a^n b^n$.
Скоротимо дріб на спільний множник $(m+3n)^2$.
Результат не залежить від значень $m$ та $n$.
2) $\frac{0,1x^2-2,5y^2}{x^2+10xy+25y^2}$
У чисельнику винесемо за дужки спільний множник $0,1$.
Знаменник є повним квадратом суми: $x^2+2\cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x+5y)^2$.
Вираз у дужках в чисельнику є різницею квадратів: $x^2-(5y)^2 = (x-5y)(x+5y)$.
Скоротимо дріб на спільний множник $(x+5y)$.
Тепер підставимо значення $x=100$ та $y=20$ у спрощений вираз.
