До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.2

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) 10x+y5x−3y2x2⋅x15y\frac{10x+y}{5x} - \frac{3y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{15y};

2) a2−49−b2:a−23+b−23−b\frac{a^2-4}{9-b^2} : \frac{a-2}{3+b} - \frac{2}{3-b};

3) x+y3x−y+1x+y⋅x2−y23x−y\frac{x+y}{3x-y} + \frac{1}{x+y} \cdot \frac{x^2-y^2}{3x-y};

4) m+m2+mnn−m⋅mm+nm + \frac{m^2+mn}{n-m} \cdot \frac{m}{m+n}.

Короткий розв'язок

1) 10x+y5x−y5x=10x5x=2\frac{10x+y}{5x} - \frac{y}{5x} = \frac{10x}{5x} = 2.

2) a+23−b−23−b=a3−b\frac{a+2}{3-b} - \frac{2}{3-b} = \frac{a}{3-b}.

3) x+y3x−y+x−y3x−y=2x3x−y\frac{x+y}{3x-y} + \frac{x-y}{3x-y} = \frac{2x}{3x-y}.

4) m+m2n−m=m(n−m)+m2n−m=mnn−mm + \frac{m^2}{n-m} = \frac{m(n-m)+m^2}{n-m} = \frac{mn}{n-m}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих прикладах необхідно суворо дотримуватися порядку виконання арифметичних дій: спочатку виконуються множення та ділення, а потім — додавання та віднімання. Для спрощення виразів будемо використовувати розкладання на множники та скорочення дробів.

1) 10x+y5x−3y2x2⋅x15y\frac{10x+y}{5x} - \frac{3y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{15y}

Спочатку виконаємо множення дробів, скоротивши їх.

3y2x2⋅x15y=3⋅x⋅y215⋅x2⋅y=y5x \frac{3y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{15y} = \frac{3 \cdot x \cdot y^2}{15 \cdot x^2 \cdot y} = \frac{y}{5x}

Тепер виконаємо віднімання.

10x+y5x−y5x=10x+y−y5x=10x5x=2 \frac{10x+y}{5x} - \frac{y}{5x} = \frac{10x+y-y}{5x} = \frac{10x}{5x} = 2

2) a2−49−b2:a−23+b−23−b\frac{a^2-4}{9-b^2} : \frac{a-2}{3+b} - \frac{2}{3-b}

Першою дією виконаємо ділення, розклавши чисельник і знаменник першого дробу на множники.

a2−49−b2:a−23+b=(a−2)(a+2)(3−b)(3+b)⋅3+ba−2=a+23−b \frac{a^2-4}{9-b^2} : \frac{a-2}{3+b} = \frac{(a-2)(a+2)}{(3-b)(3+b)} \cdot \frac{3+b}{a-2} = \frac{a+2}{3-b}

Тепер віднімемо другий дріб.

a+23−b−23−b=a+2−23−b=a3−b \frac{a+2}{3-b} - \frac{2}{3-b} = \frac{a+2-2}{3-b} = \frac{a}{3-b}

3) x+y3x−y+1x+y⋅x2−y23x−y\frac{x+y}{3x-y} + \frac{1}{x+y} \cdot \frac{x^2-y^2}{3x-y}

Спочатку виконаємо множення, розклавши x2−y2x^2-y^2 на множники.

1x+y⋅(x−y)(x+y)3x−y=x−y3x−y \frac{1}{x+y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{3x-y} = \frac{x-y}{3x-y}

Тепер виконаємо додавання.

x+y3x−y+x−y3x−y=x+y+x−y3x−y=2x3x−y \frac{x+y}{3x-y} + \frac{x-y}{3x-y} = \frac{x+y+x-y}{3x-y} = \frac{2x}{3x-y}

4) m+m2+mnn−m⋅mm+nm + \frac{m^2+mn}{n-m} \cdot \frac{m}{m+n}

Першою дією виконаємо множення. У чисельнику першого дробу винесемо спільний множник mm за дужки.

m(m+n)n−m⋅mm+n=m2n−m \frac{m(m+n)}{n-m} \cdot \frac{m}{m+n} = \frac{m^2}{n-m}

Тепер виконаємо додавання, звівши mm до спільного знаменника.

m+m2n−m=m(n−m)n−m+m2n−m=mn−m2+m2n−m=mnn−m m + \frac{m^2}{n-m} = \frac{m(n-m)}{n-m} + \frac{m^2}{n-m} = \frac{mn-m^2+m^2}{n-m} = \frac{mn}{n-m}