ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.4

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) $\left(\frac{x}{7}+\frac{7}{x}+2\right) \cdot \frac{1}{x+7}$ ;

2) $\left(1+\frac{m}{3n}\right) : \left(1-\frac{m}{3n}\right)$ ;

3) $\left(\frac{a}{a+2}-3a\right) \cdot \frac{a+2}{a}$ ;

4) $\left(2+\frac{x}{x+1}\right) : \frac{9x+6}{5x^2+5x}$ .

Короткий розв'язок

1) $\frac{x^2+49+14x}{7x} \cdot \frac{1}{x+7} = \frac{(x+7)^2}{7x(x+7)} = \frac{x+7}{7x}$ .

2) $\frac{3n+m}{3n} : \frac{3n-m}{3n} = \frac{3n+m}{3n} \cdot \frac{3n}{3n-m} = \frac{3n+m}{3n-m}$ .

3) $\frac{a-3a(a+2)}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a} = \frac{-3a^2-5a}{a} = -3a-5$ .

4) $\frac{2(x+1)+x}{x+1} : \frac{3(3x+2)}{5x(x+1)} = \frac{3x+2}{x+1} \cdot \frac{5x(x+1)}{3(3x+2)} = \frac{5x}{3}$ .

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих прикладах першочерговою є дія в дужках. Для цього ми зводимо вирази до спільного знаменника. Після цього виконуємо множення або ділення дробів, попередньо розклавши, де це можливо, вирази на множники для скорочення.

1) $\left(\frac{x}{7}+\frac{7}{x}+2\right) \cdot \frac{1}{x+7}$

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $7x$ .

\frac{x \cdot x + 7 \cdot 7 + 2 \cdot 7x}{7x} = \frac{x^2+14x+49}{7x} =

Чисельник є повним квадратом суми: $(x+7)^2$ .

= \frac{(x+7)^2}{7x}

Тепер виконаємо множення.

\frac{(x+7)^2}{7x} \cdot \frac{1}{x+7} = \frac{x+7}{7x}

2) $\left(1+\frac{m}{3n}\right) : \left(1-\frac{m}{3n}\right)$

Виконаємо дії в кожній з дужок.

\frac{3n+m}{3n} : \frac{3n-m}{3n} =

Замінимо ділення на множення на обернений дріб.

= \frac{3n+m}{3n} \cdot \frac{3n}{3n-m} = \frac{3n+m}{3n-m}

3) $\left(\frac{a}{a+2}-3a\right) \cdot \frac{a+2}{a}$

Виконаємо віднімання в дужках зі спільним знаменником $a+2$ .

\frac{a - 3a(a+2)}{a+2} = \frac{a-3a^2-6a}{a+2} = \frac{-3a^2-5a}{a+2}

Тепер виконаємо множення.

\frac{-3a^2-5a}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a} = \frac{-a(3a+5)}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a} = -(3a+5) = -3a-5

4) $\left(2+\frac{x}{x+1}\right) : \frac{9x+6}{5x^2+5x}$

Виконаємо додавання в дужках.

\frac{2(x+1)+x}{x+1} = \frac{2x+2+x}{x+1} = \frac{3x+2}{x+1}

Розкладемо на множники другий дріб: $\frac{3(3x+2)}{5x(x+1)}$ .

Тепер виконаємо ділення.

\frac{3x+2}{x+1} : \frac{3(3x+2)}{5x(x+1)} = \frac{3x+2}{x+1} \cdot \frac{5x(x+1)}{3(3x+2)} = \frac{5x}{3}