До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.1

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) 12a+b3a−7b2a2⋅a21b\frac{12a+b}{3a} - \frac{7b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{21b};

2) m2−n2x2−9⋅x−3m−n−mx+3\frac{m^2-n^2}{x^2-9} \cdot \frac{x-3}{m-n} - \frac{m}{x+3};

3) a−b2a+b+1a−b:2a+ba2−b2\frac{a-b}{2a+b} + \frac{1}{a-b} : \frac{2a+b}{a^2-b^2};

4) x−x2−xyx+y⋅xx−yx - \frac{x^2-xy}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y}.

Короткий розв'язок

1) 12a+b3a−b3a=12a3a=4\frac{12a+b}{3a} - \frac{b}{3a} = \frac{12a}{3a} = 4.

2) (m−n)(m+n)(x−3)(x+3)⋅x−3m−n−mx+3=m+nx+3−mx+3=nx+3\frac{(m-n)(m+n)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{m-n} - \frac{m}{x+3} = \frac{m+n}{x+3} - \frac{m}{x+3} = \frac{n}{x+3}.

3) a−b2a+b+1a−b⋅(a−b)(a+b)2a+b=a−b2a+b+a+b2a+b=2a2a+b\frac{a-b}{2a+b} + \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2a+b} = \frac{a-b}{2a+b} + \frac{a+b}{2a+b} = \frac{2a}{2a+b}.

4) x−x(x−y)x+y⋅xx−y=x−x2x+y=x(x+y)−x2x+y=xyx+yx - \frac{x(x-y)}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y} = x - \frac{x^2}{x+y} = \frac{x(x+y)-x^2}{x+y} = \frac{xy}{x+y}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих прикладах необхідно суворо дотримуватися порядку виконання арифметичних дій: спочатку виконуються множення та ділення, а потім — додавання та віднімання. Для спрощення виразів будемо використовувати розкладання на множники та скорочення дробів.

1) 12a+b3a−7b2a2⋅a21b\frac{12a+b}{3a} - \frac{7b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{21b}

Спочатку виконаємо множення дробів, скоротивши їх.

7b2a2⋅a21b=7⋅a⋅b221⋅a2⋅b=b3a \frac{7b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{21b} = \frac{7 \cdot a \cdot b^2}{21 \cdot a^2 \cdot b} = \frac{b}{3a}

Тепер виконаємо віднімання.

12a+b3a−b3a=12a+b−b3a=12a3a=4 \frac{12a+b}{3a} - \frac{b}{3a} = \frac{12a+b-b}{3a} = \frac{12a}{3a} = 4

2) m2−n2x2−9⋅x−3m−n−mx+3\frac{m^2-n^2}{x^2-9} \cdot \frac{x-3}{m-n} - \frac{m}{x+3}

Першою дією виконаємо множення, розклавши чисельник і знаменник першого дробу на множники за формулою різниці квадратів.

(m−n)(m+n)(x−3)(x+3)⋅x−3m−n=m+nx+3 \frac{(m-n)(m+n)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{m-n} = \frac{m+n}{x+3}

Тепер віднімемо другий дріб.

m+nx+3−mx+3=m+n−mx+3=nx+3 \frac{m+n}{x+3} - \frac{m}{x+3} = \frac{m+n-m}{x+3} = \frac{n}{x+3}

3) a−b2a+b+1a−b:2a+ba2−b2\frac{a-b}{2a+b} + \frac{1}{a-b} : \frac{2a+b}{a^2-b^2}

Спочатку виконаємо ділення, замінивши його на множення на обернений дріб.

1a−b:2a+ba2−b2=1a−b⋅a2−b22a+b=(a−b)(a+b)(a−b)(2a+b)=a+b2a+b \frac{1}{a-b} : \frac{2a+b}{a^2-b^2} = \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2-b^2}{2a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)(2a+b)} = \frac{a+b}{2a+b}

Тепер виконаємо додавання.

a−b2a+b+a+b2a+b=a−b+a+b2a+b=2a2a+b \frac{a-b}{2a+b} + \frac{a+b}{2a+b} = \frac{a-b+a+b}{2a+b} = \frac{2a}{2a+b}

4) x−x2−xyx+y⋅xx−yx - \frac{x^2-xy}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y}

Першою дією виконаємо множення. У чисельнику першого дробу винесемо спільний множник xx за дужки.

x(x−y)x+y⋅xx−y=x2(x−y)(x+y)(x−y)=x2x+y \frac{x(x-y)}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{x^2(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2}{x+y}

Тепер виконаємо віднімання, звівши xx до спільного знаменника.

x−x2x+y=x(x+y)x+y−x2x+y=x2+xy−x2x+y=xyx+y x - \frac{x^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^2}{x+y} = \frac{x^2+xy-x^2}{x+y} = \frac{xy}{x+y}