ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.5
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Спростіть вираз:
1) $\left(\frac{m}{5}+\frac{5}{m}-2\right) \cdot \frac{1}{m-5}$;
2) $\left(1-\frac{x}{y}\right) : \left(1+\frac{x}{y}\right)$;
3) $\left(\frac{b}{b-3}-2b\right) \cdot \frac{b-3}{b}$;
4) $\left(3-\frac{m}{m+2}\right) : \frac{4m+12}{m^2+2m}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{m^2-10m+25}{5m} \cdot \frac{1}{m-5} = \frac{(m-5)^2}{5m(m-5)} = \frac{m-5}{5m}$.
2) $\frac{y-x}{y} : \frac{y+x}{y} = \frac{y-x}{y} \cdot \frac{y}{y+x} = \frac{y-x}{y+x}$.
3) $\frac{b-2b(b-3)}{b-3} \cdot \frac{b-3}{b} = \frac{-2b^2+7b}{b} = -2b+7 = 7-2b$.
4) $\frac{3(m+2)-m}{m+2} : \frac{4(m+3)}{m(m+2)} = \frac{2m+6}{m+2} \cdot \frac{m(m+2)}{4(m+3)} = \frac{2(m+3)m}{4(m+3)} = \frac{m}{2}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Порядок дій вимагає спочатку виконати операції в дужках, звівши доданки до спільного знаменника. Потім виконується множення або ділення дробів. Для спрощення отриманих виразів застосовуються формули скороченого множення та винесення спільного множника за дужки.
1) $\left(\frac{m}{5}+\frac{5}{m}-2\right) \cdot \frac{1}{m-5}$
Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $5m$.
Чисельник є повним квадратом різниці: $(m-5)^2$.
Тепер виконаємо множення.
2) $\left(1-\frac{x}{y}\right) : \left(1+\frac{x}{y}\right)$
Виконаємо дії в кожній з дужок, звівши до спільного знаменника $y$.
Замінимо ділення на множення на обернений дріб.
3) $\left(\frac{b}{b-3}-2b\right) \cdot \frac{b-3}{b}$
Виконаємо віднімання в дужках зі спільним знаменником $b-3$.
Тепер виконаємо множення.
4) $\left(3-\frac{m}{m+2}\right) : \frac{4m+12}{m^2+2m}$
Виконаємо віднімання в дужках.
Розкладемо на множники другий дріб: $\frac{4(m+3)}{m(m+2)}$.
Тепер виконаємо ділення.
