До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.5

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) (m5+5m−2)⋅1m−5\left(\frac{m}{5}+\frac{5}{m}-2\right) \cdot \frac{1}{m-5};

2) (1−xy):(1+xy)\left(1-\frac{x}{y}\right) : \left(1+\frac{x}{y}\right);

3) (bb−3−2b)⋅b−3b\left(\frac{b}{b-3}-2b\right) \cdot \frac{b-3}{b};

4) (3−mm+2):4m+12m2+2m\left(3-\frac{m}{m+2}\right) : \frac{4m+12}{m^2+2m}.

Короткий розв'язок

1) m2−10m+255m⋅1m−5=(m−5)25m(m−5)=m−55m\frac{m^2-10m+25}{5m} \cdot \frac{1}{m-5} = \frac{(m-5)^2}{5m(m-5)} = \frac{m-5}{5m}.

2) y−xy:y+xy=y−xy⋅yy+x=y−xy+x\frac{y-x}{y} : \frac{y+x}{y} = \frac{y-x}{y} \cdot \frac{y}{y+x} = \frac{y-x}{y+x}.

3) b−2b(b−3)b−3⋅b−3b=−2b2+7bb=−2b+7=7−2b\frac{b-2b(b-3)}{b-3} \cdot \frac{b-3}{b} = \frac{-2b^2+7b}{b} = -2b+7 = 7-2b.

4) 3(m+2)−mm+2:4(m+3)m(m+2)=2m+6m+2⋅m(m+2)4(m+3)=2(m+3)m4(m+3)=m2\frac{3(m+2)-m}{m+2} : \frac{4(m+3)}{m(m+2)} = \frac{2m+6}{m+2} \cdot \frac{m(m+2)}{4(m+3)} = \frac{2(m+3)m}{4(m+3)} = \frac{m}{2}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Порядок дій вимагає спочатку виконати операції в дужках, звівши доданки до спільного знаменника. Потім виконується множення або ділення дробів. Для спрощення отриманих виразів застосовуються формули скороченого множення та винесення спільного множника за дужки.

1) (m5+5m−2)⋅1m−5\left(\frac{m}{5}+\frac{5}{m}-2\right) \cdot \frac{1}{m-5}

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника 5m5m.

m⋅m+5⋅5−2⋅5m5m=m2−10m+255m= \frac{m \cdot m + 5 \cdot 5 - 2 \cdot 5m}{5m} = \frac{m^2-10m+25}{5m} =

Чисельник є повним квадратом різниці: (m−5)2(m-5)^2.

=(m−5)25m = \frac{(m-5)^2}{5m}

Тепер виконаємо множення.

(m−5)25m⋅1m−5=m−55m \frac{(m-5)^2}{5m} \cdot \frac{1}{m-5} = \frac{m-5}{5m}

2) (1−xy):(1+xy)\left(1-\frac{x}{y}\right) : \left(1+\frac{x}{y}\right)

Виконаємо дії в кожній з дужок, звівши до спільного знаменника yy.

y−xy:y+xy= \frac{y-x}{y} : \frac{y+x}{y} =

Замінимо ділення на множення на обернений дріб.

=y−xy⋅yy+x=y−xy+x = \frac{y-x}{y} \cdot \frac{y}{y+x} = \frac{y-x}{y+x}

3) (bb−3−2b)⋅b−3b\left(\frac{b}{b-3}-2b\right) \cdot \frac{b-3}{b}

Виконаємо віднімання в дужках зі спільним знаменником b−3b-3.

b−2b(b−3)b−3=b−2b2+6bb−3=7b−2b2b−3 \frac{b - 2b(b-3)}{b-3} = \frac{b-2b^2+6b}{b-3} = \frac{7b-2b^2}{b-3}

Тепер виконаємо множення.

7b−2b2b−3⋅b−3b=b(7−2b)b−3⋅b−3b=7−2b \frac{7b-2b^2}{b-3} \cdot \frac{b-3}{b} = \frac{b(7-2b)}{b-3} \cdot \frac{b-3}{b} = 7-2b

4) (3−mm+2):4m+12m2+2m\left(3-\frac{m}{m+2}\right) : \frac{4m+12}{m^2+2m}

Виконаємо віднімання в дужках.

3(m+2)−mm+2=3m+6−mm+2=2m+6m+2=2(m+3)m+2 \frac{3(m+2)-m}{m+2} = \frac{3m+6-m}{m+2} = \frac{2m+6}{m+2} = \frac{2(m+3)}{m+2}

Розкладемо на множники другий дріб: 4(m+3)m(m+2)\frac{4(m+3)}{m(m+2)}.

Тепер виконаємо ділення.

2(m+3)m+2:4(m+3)m(m+2)=2(m+3)m+2⋅m(m+2)4(m+3)=2m4=m2 \frac{2(m+3)}{m+2} : \frac{4(m+3)}{m(m+2)} = \frac{2(m+3)}{m+2} \cdot \frac{m(m+2)}{4(m+3)} = \frac{2m}{4} = \frac{m}{2}