ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.6
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть тотожність:
1) $\left(1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right) \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{b}$;
2) $\left(\frac{m}{n^2}-\frac{1}{m}\right) : \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right) = \frac{m+n}{n}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{b^2-2ab+a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{(a-b)^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{b}$.
2) $\frac{m^2-n^2}{n^2m} : \frac{m-n}{nm} = \frac{(m-n)(m+n)}{n^2m} \cdot \frac{nm}{m-n} = \frac{m+n}{n}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності необхідно спростити її ліву частину і показати, що вона дорівнює правій. Ми почнемо з виконання дій у дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім виконаємо множення або ділення, використовуючи формули скороченого множення.
1) $\left(1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right) \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{b}$
Спочатку перетворимо вираз у дужках. Зведемо до спільного знаменника $b^2$.
Чисельник є повним квадратом різниці: $(b-a)^2$, що дорівнює $(a-b)^2$.
Тепер виконаємо множення.
Скорочуємо спільні множники $(a-b)$ та $b$.
Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.
2) $\left(\frac{m}{n^2}-\frac{1}{m}\right) : \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right) = \frac{m+n}{n}$
Виконаємо дії в кожній з дужок, зводячи до спільних знаменників.
Перша дужка (спільний знаменник $n^2m$):
Друга дужка (спільний знаменник $nm$):
Тепер виконаємо ділення отриманих виразів.
Розкладемо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів.
Скорочуємо спільні множники $(m-n)$, $n$ та $m$.
Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.
