До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.6

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність:

1) (1−2ab+a2b2)⋅ba−b=a−bb\left(1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right) \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{b};

2) (mn2−1m):(1n−1m)=m+nn\left(\frac{m}{n^2}-\frac{1}{m}\right) : \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right) = \frac{m+n}{n}.

Короткий розв'язок

1) b2−2ab+a2b2⋅ba−b=(a−b)2b2⋅ba−b=a−bb\frac{b^2-2ab+a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{(a-b)^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{b}.

2) m2−n2n2m:m−nnm=(m−n)(m+n)n2m⋅nmm−n=m+nn\frac{m^2-n^2}{n^2m} : \frac{m-n}{nm} = \frac{(m-n)(m+n)}{n^2m} \cdot \frac{nm}{m-n} = \frac{m+n}{n}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності необхідно спростити її ліву частину і показати, що вона дорівнює правій. Ми почнемо з виконання дій у дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім виконаємо множення або ділення, використовуючи формули скороченого множення.

1) (1−2ab+a2b2)⋅ba−b=a−bb\left(1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right) \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{b}

Спочатку перетворимо вираз у дужках. Зведемо до спільного знаменника b2b^2.

1−2ab+a2b2=b2−2ab+a2b2= 1-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2 - 2ab + a^2}{b^2} =

Чисельник є повним квадратом різниці: (b−a)2(b-a)^2, що дорівнює (a−b)2(a-b)^2.

=(a−b)2b2 = \frac{(a-b)^2}{b^2}

Тепер виконаємо множення.

(a−b)2b2⋅ba−b= \frac{(a-b)^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a-b} =

Скорочуємо спільні множники (a−b)(a-b) та bb.

=a−bb = \frac{a-b}{b}

Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.

2) (mn2−1m):(1n−1m)=m+nn\left(\frac{m}{n^2}-\frac{1}{m}\right) : \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right) = \frac{m+n}{n}

Виконаємо дії в кожній з дужок, зводячи до спільних знаменників.

Перша дужка (спільний знаменник n2mn^2m):

mn2−1m=m2−n2n2m \frac{m}{n^2}-\frac{1}{m} = \frac{m^2-n^2}{n^2m}

Друга дужка (спільний знаменник nmnm):

1n−1m=m−nnm \frac{1}{n}-\frac{1}{m} = \frac{m-n}{nm}

Тепер виконаємо ділення отриманих виразів.

m2−n2n2m:m−nnm=m2−n2n2m⋅nmm−n= \frac{m^2-n^2}{n^2m} : \frac{m-n}{nm} = \frac{m^2-n^2}{n^2m} \cdot \frac{nm}{m-n} =

Розкладемо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів.

=(m−n)(m+n)n2m⋅nmm−n= = \frac{(m-n)(m+n)}{n^2m} \cdot \frac{nm}{m-n} =

Скорочуємо спільні множники (m−n)(m-n), nn та mm.

=m+nn = \frac{m+n}{n}

Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.