До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.7

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність:

1) (1+2xy+x2y2)⋅yx+y=x+yy\left(1+\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right) \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{x+y}{y};

2) (2mn2−12m):(1n+12m)=2m−nn\left(\frac{2m}{n^2}-\frac{1}{2m}\right) : \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2m}\right) = \frac{2m-n}{n}.

Короткий розв'язок

1) y2+2xy+x2y2⋅yx+y=(x+y)2y2⋅yx+y=x+yy\frac{y^2+2xy+x^2}{y^2} \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{(x+y)^2}{y^2} \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{x+y}{y}.

2) 4m2−n22mn2:2m+n2mn=(2m−n)(2m+n)2mn2⋅2mn2m+n=2m−nn\frac{4m^2-n^2}{2mn^2} : \frac{2m+n}{2mn} = \frac{(2m-n)(2m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{2m+n} = \frac{2m-n}{n}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно перетворити її ліву частину до вигляду правої. Для цього спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім виконуємо множення або ділення, застосовуючи формули скороченого множення для спрощення.

1) (1+2xy+x2y2)⋅yx+y=x+yy\left(1+\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right) \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{x+y}{y}

Спочатку перетворимо вираз у дужках. Зведемо до спільного знаменника y2y^2.

1+2xy+x2y2=y2+2xy+x2y2= 1+\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2} = \frac{y^2 + 2xy + x^2}{y^2} =

Чисельник є повним квадратом суми: (y+x)2(y+x)^2 або (x+y)2(x+y)^2.

=(x+y)2y2 = \frac{(x+y)^2}{y^2}

Тепер виконаємо множення.

(x+y)2y2⋅yx+y= \frac{(x+y)^2}{y^2} \cdot \frac{y}{x+y} =

Скорочуємо спільні множники (x+y)(x+y) та yy.

=x+yy = \frac{x+y}{y}

Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.

2) (2mn2−12m):(1n+12m)=2m−nn\left(\frac{2m}{n^2}-\frac{1}{2m}\right) : \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2m}\right) = \frac{2m-n}{n}

Виконаємо дії в кожній з дужок, зводячи до спільних знаменників.

Перша дужка (спільний знаменник 2mn22mn^2):

2mn2−12m=2m⋅2m−1⋅n22mn2=4m2−n22mn2 \frac{2m}{n^2}-\frac{1}{2m} = \frac{2m \cdot 2m - 1 \cdot n^2}{2mn^2} = \frac{4m^2-n^2}{2mn^2}

Друга дужка (спільний знаменник 2mn2mn):

1n+12m=1⋅2m+1⋅n2mn=2m+n2mn \frac{1}{n}+\frac{1}{2m} = \frac{1 \cdot 2m + 1 \cdot n}{2mn} = \frac{2m+n}{2mn}

Тепер виконаємо ділення отриманих виразів.

4m2−n22mn2:2m+n2mn=4m2−n22mn2⋅2mn2m+n= \frac{4m^2-n^2}{2mn^2} : \frac{2m+n}{2mn} = \frac{4m^2-n^2}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{2m+n} =

Розкладемо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів.

=(2m−n)(2m+n)2mn2⋅2mn2m+n= = \frac{(2m-n)(2m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{2m+n} =

Скорочуємо спільні множники (2m+n)(2m+n), 22, mm та nn.

=2m−nn = \frac{2m-n}{n}

Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.