ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.7
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть тотожність:
1) $\left(1+\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right) \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{x+y}{y}$;
2) $\left(\frac{2m}{n^2}-\frac{1}{2m}\right) : \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2m}\right) = \frac{2m-n}{n}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{y^2+2xy+x^2}{y^2} \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{(x+y)^2}{y^2} \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{x+y}{y}$.
2) $\frac{4m^2-n^2}{2mn^2} : \frac{2m+n}{2mn} = \frac{(2m-n)(2m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{2m+n} = \frac{2m-n}{n}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно перетворити її ліву частину до вигляду правої. Для цього спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім виконуємо множення або ділення, застосовуючи формули скороченого множення для спрощення.
1) $\left(1+\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right) \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{x+y}{y}$
Спочатку перетворимо вираз у дужках. Зведемо до спільного знаменника $y^2$.
Чисельник є повним квадратом суми: $(y+x)^2$ або $(x+y)^2$.
Тепер виконаємо множення.
Скорочуємо спільні множники $(x+y)$ та $y$.
Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.
2) $\left(\frac{2m}{n^2}-\frac{1}{2m}\right) : \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2m}\right) = \frac{2m-n}{n}$
Виконаємо дії в кожній з дужок, зводячи до спільних знаменників.
Перша дужка (спільний знаменник $2mn^2$):
Друга дужка (спільний знаменник $2mn$):
Тепер виконаємо ділення отриманих виразів.
Розкладемо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів.
Скорочуємо спільні множники $(2m+n)$, $2$, $m$ та $n$.
Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.
