ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.8

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Виконайте дії:

1) $\left(\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2}\right) : \frac{4x}{x^2-4}$;

2) $\left(\frac{a+3}{a-3} - \frac{a-3}{a+3}\right) : \frac{24a}{a^2-6a+9}$.

1) $\frac{(x-2)^2-(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} : \frac{4x}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4} \cdot \frac{x^2-4}{4x} = -2$.

2) $\frac{(a+3)^2-(a-3)^2}{(a-3)(a+3)} : \frac{24a}{(a-3)^2} = \frac{12a}{a^2-9} \cdot \frac{(a-3)^2}{24a} = \frac{a-3}{2(a+3)}$.

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спочатку виконуємо дію в дужках, а саме віднімання раціональних дробів, зводячи їх до спільного знаменника. Потім застосовуємо формулу різниці квадратів. На завершальному етапі виконуємо ділення дробів.

1) $\left(\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2}\right) : \frac{4x}{x^2-4}$

Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $(x+2)(x-2)=x^2-4$.

$$ \frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x^2-4x+4) - (x^2+4x+4)}{x^2-4} = $$

$$ = \frac{x^2-4x+4-x^2-4x-4}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4} $$

Тепер виконаємо ділення.

$$ \frac{-8x}{x^2-4} : \frac{4x}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4} \cdot \frac{x^2-4}{4x} = -2 $$

2) $\left(\frac{a+3}{a-3} - \frac{a-3}{a+3}\right) : \frac{24a}{a^2-6a+9}$

Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник $(a-3)(a+3)=a^2-9$.

$$ \frac{(a+3)^2 - (a-3)^2}{(a-3)(a+3)} = \frac{(a^2+6a+9) - (a^2-6a+9)}{a^2-9} = $$

$$ = \frac{a^2+6a+9-a^2+6a-9}{a^2-9} = \frac{12a}{a^2-9} $$

Тепер виконаємо ділення. Зауважимо, що $a^2-6a+9=(a-3)^2$.

$$ \frac{12a}{a^2-9} : \frac{24a}{(a-3)^2} = \frac{12a}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a-3)^2}{24a} = $$