До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.9

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) 8mm2−1:(m+1m−1−m−1m+1)\frac{8m}{m^2-1} : \left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right);

2) (a−2a+2+a+2a−2)⋅a2−4a+42a2+8\left(\frac{a-2}{a+2} + \frac{a+2}{a-2}\right) \cdot \frac{a^2-4a+4}{2a^2+8}.

Короткий розв'язок

1) 8mm2−1:(m+1)2−(m−1)2(m−1)(m+1)=8mm2−1:4mm2−1=8mm2−1⋅m2−14m=2\frac{8m}{m^2-1} : \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)} = \frac{8m}{m^2-1} : \frac{4m}{m^2-1} = \frac{8m}{m^2-1} \cdot \frac{m^2-1}{4m} = 2.

2) (a−2)2+(a+2)2(a+2)(a−2)⋅(a−2)22(a2+4)=2(a2+4)a2−4⋅(a−2)22(a2+4)=(a−2)2(a−2)(a+2)=a−2a+2\frac{(a-2)^2 + (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \cdot \frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \frac{(a-2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-2}{a+2}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім застосовуємо формули скороченого множення. На завершальному етапі виконуємо множення або ділення дробів.

1) 8mm2−1:(m+1m−1−m−1m+1)\frac{8m}{m^2-1} : \left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right)

Спочатку виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник (m−1)(m+1)=m2−1(m-1)(m+1)=m^2-1.

m+1m−1−m−1m+1=(m+1)2−(m−1)2(m−1)(m+1)= \frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)} =
=(m2+2m+1)−(m2−2m+1)m2−1=m2+2m+1−m2+2m−1m2−1=4mm2−1 = \frac{(m^2+2m+1) - (m^2-2m+1)}{m^2-1} = \frac{m^2+2m+1-m^2+2m-1}{m^2-1} = \frac{4m}{m^2-1}

Тепер виконаємо ділення.

8mm2−1:4mm2−1=8mm2−1⋅m2−14m=2 \frac{8m}{m^2-1} : \frac{4m}{m^2-1} = \frac{8m}{m^2-1} \cdot \frac{m^2-1}{4m} = 2

2) (a−2a+2+a+2a−2)⋅a2−4a+42a2+8\left(\frac{a-2}{a+2} + \frac{a+2}{a-2}\right) \cdot \frac{a^2-4a+4}{2a^2+8}

Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник (a+2)(a−2)=a2−4(a+2)(a-2)=a^2-4.

(a−2)2+(a+2)2(a+2)(a−2)=(a2−4a+4)+(a2+4a+4)a2−4= \frac{(a-2)^2 + (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a^2-4a+4) + (a^2+4a+4)}{a^2-4} =
=2a2+8a2−4=2(a2+4)a2−4 = \frac{2a^2+8}{a^2-4} = \frac{2(a^2+4)}{a^2-4}

Тепер виконаємо множення. Розкладемо другий дріб на множники: (a−2)22(a2+4)\frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)}.

2(a2+4)a2−4⋅(a−2)22(a2+4)= \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \cdot \frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} =

Скорочуємо спільні множники 22 та (a2+4)(a^2+4). Розкладаємо знаменник a2−4=(a−2)(a+2)a^2-4 = (a-2)(a+2).

=1(a−2)(a+2)⋅(a−2)2=a−2a+2 = \frac{1}{(a-2)(a+2)} \cdot (a-2)^2 = \frac{a-2}{a+2}