ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.9

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) $\frac{8m}{m^2-1} : \left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right)$;

2) $\left(\frac{a-2}{a+2} + \frac{a+2}{a-2}\right) \cdot \frac{a^2-4a+4}{2a^2+8}$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{8m}{m^2-1} : \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)} = \frac{8m}{m^2-1} : \frac{4m}{m^2-1} = \frac{8m}{m^2-1} \cdot \frac{m^2-1}{4m} = 2$.

2) $\frac{(a-2)^2 + (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \cdot \frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \frac{(a-2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-2}{a+2}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім застосовуємо формули скороченого множення. На завершальному етапі виконуємо множення або ділення дробів.

1) $\frac{8m}{m^2-1} : \left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right)$

Спочатку виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник $(m-1)(m+1)=m^2-1$.

$$ \frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)} = $$

$$ = \frac{(m^2+2m+1) - (m^2-2m+1)}{m^2-1} = \frac{m^2+2m+1-m^2+2m-1}{m^2-1} = \frac{4m}{m^2-1} $$

Тепер виконаємо ділення.

$$ \frac{8m}{m^2-1} : \frac{4m}{m^2-1} = \frac{8m}{m^2-1} \cdot \frac{m^2-1}{4m} = 2 $$

2) $\left(\frac{a-2}{a+2} + \frac{a+2}{a-2}\right) \cdot \frac{a^2-4a+4}{2a^2+8}$

Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник $(a+2)(a-2)=a^2-4$.

$$ \frac{(a-2)^2 + (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a^2-4a+4) + (a^2+4a+4)}{a^2-4} = $$

$$ = \frac{2a^2+8}{a^2-4} = \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} $$

Тепер виконаємо множення. Розкладемо другий дріб на множники: $\frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)}$.

$$ \frac{2(a^2+4)}{a^2-4} \cdot \frac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = $$