ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.11

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) $\left(\frac{16}{x+2} : \left(\frac{x+2}{x-2} - \frac{16}{x^2-4} - \frac{x-2}{x+2}\right)\right)$;

2) $\left(\frac{5a+1}{a-2} + \frac{5a-1}{a+2}\right) \cdot \frac{a^2-4}{5a^2+2}$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{16}{x+2} : \frac{(x+2)^2-16-(x-2)^2}{x^2-4} = \frac{16}{x+2} : \frac{8x-16}{x^2-4} = \frac{16}{x+2} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{8(x-2)} = 2$.

2) $\frac{(5a+1)(a+2)+(5a-1)(a-2)}{a^2-4} \cdot \frac{a^2-4}{5a^2+2} = \frac{10a^2+4}{a^2-4} \cdot \frac{a^2-4}{5a^2+2} = \frac{2(5a^2+2)}{5a^2+2} = 2$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім застосовуємо формули скороченого множення. На завершальному етапі виконуємо множення або ділення дробів.

1) $\left(\frac{16}{x+2} : \left(\frac{x+2}{x-2} - \frac{16}{x^2-4} - \frac{x-2}{x+2}\right)\right)$

Спочатку виконаємо дію в внутрішніх дужках. Спільний знаменник $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

$$ \frac{(x+2)^2 - 16 - (x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x^2+4x+4) - 16 - (x^2-4x+4)}{x^2-4} = $$

$$ = \frac{x^2+4x+4-16-x^2+4x-4}{x^2-4} =$$

$$ = \frac{8x-16}{x^2-4} = \frac{8(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x+2} $$

Тепер виконаємо ділення.

$$ \frac{16}{x+2} : \frac{8}{x+2} = \frac{16}{x+2} \cdot \frac{x+2}{8} = 2 $$

2) $\left(\frac{5a+1}{a-2} + \frac{5a-1}{a+2}\right) \cdot \frac{a^2-4}{5a^2+2}$

Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник $(a-2)(a+2) = a^2-4$.

$$ \frac{(5a+1)(a+2) + (5a-1)(a-2)}{(a-2)(a+2)} = $$

$$ = \frac{(5a^2+11a+2) + (5a^2-11a+2)}{a^2-4} = $$

$$ = \frac{10a^2+4}{a^2-4} = \frac{2(5a^2+2)}{a^2-4} $$