ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.10

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) $\frac{36}{a-3} : \left(\frac{a+3}{a-3} - \frac{a-3}{a+3} + \frac{36}{a^2-9}\right)$;

2) $\left(\frac{2x+y}{x-2y} + \frac{2x-y}{x+2y}\right) \cdot \frac{x^2-4y^2}{x^2+y^2}$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{36}{a-3} : \frac{(a+3)^2-(a-3)^2+36}{(a-3)(a+3)} = \frac{36}{a-3} : \frac{12a+36}{a^2-9} = \frac{36}{a-3} : \frac{12(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{36}{a-3} \cdot \frac{a-3}{12} = 3$.

2) $\frac{(2x+y)(x+2y)+(2x-y)(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{x^2-4y^2}{x^2+y^2} = \frac{4(x^2+y^2)}{x^2-4y^2} \cdot \frac{x^2-4y^2}{x^2+y^2} = 4$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Першочерговою є дія в дужках, де ми зводимо дроби до спільного знаменника. Потім виконуємо множення або ділення, використовуючи формули скороченого множення для спрощення.

1) $\frac{36}{a-3} : \left(\frac{a+3}{a-3} - \frac{a-3}{a+3} + \frac{36}{a^2-9}\right)$

Спочатку виконаємо дії в дужках. Спільний знаменник: $a^2-9=(a-3)(a+3)$.

$$ \frac{(a+3)^2 - (a-3)^2 + 36}{(a-3)(a+3)} = \frac{(a^2+6a+9) - (a^2-6a+9) + 36}{a^2-9} = $$

$$ = \frac{a^2+6a+9-a^2+6a-9+36}{a^2-9} = \frac{12a+36}{a^2-9} = \frac{12(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{12}{a-3} $$

Тепер виконаємо ділення.

$$ \frac{36}{a-3} : \frac{12}{a-3} = \frac{36}{a-3} \cdot \frac{a-3}{12} = 3 $$

2) $\left(\frac{2x+y}{x-2y} + \frac{2x-y}{x+2y}\right) \cdot \frac{x^2-4y^2}{x^2+y^2}$

Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник $(x-2y)(x+2y)=x^2-4y^2$.

$$ \frac{(2x+y)(x+2y) + (2x-y)(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)} = $$

$$ = \frac{(2x^2+4xy+xy+2y^2) + (2x^2-4xy-xy+2y^2)}{x^2-4y^2} = $$

$$ = \frac{2x^2+5xy+2y^2+2x^2-5xy+2y^2}{x^2-4y^2} = \frac{4x^2+4y^2}{x^2-4y^2} = \frac{4(x^2+y^2)}{x^2-4y^2} $$

Тепер виконаємо множення.