До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.12

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність (aa−5−aa+5−a2+2525−a2)⋅a−5a2+10a+25=1a+5\left(\frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}-\frac{a^2+25}{25-a^2}\right)\cdot\frac{a-5}{a^2+10a+25}=\frac{1}{a+5}.

Короткий розв'язок

a(a+5)−a(a−5)+(a2+25)(a−5)(a+5)⋅a−5(a+5)2=a2+10a+25a2−25⋅a−5(a+5)2=(a+5)2(a−5)(a+5)⋅a−5(a+5)2=1a+5\frac{a(a+5)-a(a-5)+(a^2+25)}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{a^2+10a+25}{a^2-25}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{1}{a+5}.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності спростимо її ліву частину. Спочатку виконаємо дії в дужках, звівши дроби до спільного знаменника. Потім виконаємо множення, попередньо розклавши вирази на множники, де це можливо.

Перетворимо ліву частину тотожності. Першою виконаємо дію в дужках.

aa−5−aa+5−a2+2525−a2= \frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}-\frac{a^2+25}{25-a^2} =

Оскільки 25−a2=−(a2−25)=−(a−5)(a+5)25-a^2 = -(a^2-25) = -(a-5)(a+5), змінимо знак перед третім дробом і в його знаменнику.

=aa−5−aa+5+a2+25(a−5)(a+5)= = \frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}+\frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)} =

Зведемо дроби до спільного знаменника (a−5)(a+5)(a-5)(a+5).

=a(a+5)−a(a−5)+(a2+25)(a−5)(a+5)= = \frac{a(a+5)-a(a-5)+(a^2+25)}{(a-5)(a+5)} =
=a2+5a−a2+5a+a2+25(a−5)(a+5)=a2+10a+25(a−5)(a+5)= = \frac{a^2+5a-a^2+5a+a^2+25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a^2+10a+25}{(a-5)(a+5)} =

Чисельник є повним квадратом суми: (a+5)2(a+5)^2.

=(a+5)2(a−5)(a+5)=a+5a−5 = \frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a+5}{a-5}

Тепер виконаємо множення. Знаменник другого дробу також є повним квадратом: a2+10a+25=(a+5)2a^2+10a+25=(a+5)^2.

a+5a−5⋅a−5a2+10a+25=a+5a−5⋅a−5(a+5)2= \frac{a+5}{a-5} \cdot \frac{a-5}{a^2+10a+25} = \frac{a+5}{a-5} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} =

Скорочуємо спільні множники (a+5)(a+5) та (a−5)(a-5).

=1a+5 = \frac{1}{a+5}

Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.