ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.12

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Доведіть тотожність $\left(\frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}-\frac{a^2+25}{25-a^2}\right)\cdot\frac{a-5}{a^2+10a+25}=\frac{1}{a+5}$.

Короткий розв'язок

$\frac{a(a+5)-a(a-5)+(a^2+25)}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{a^2+10a+25}{a^2-25}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{1}{a+5}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності спростимо її ліву частину. Спочатку виконаємо дії в дужках, звівши дроби до спільного знаменника. Потім виконаємо множення, попередньо розклавши вирази на множники, де це можливо.

Перетворимо ліву частину тотожності. Першою виконаємо дію в дужках.

$$ \frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}-\frac{a^2+25}{25-a^2} = $$

Оскільки $25-a^2 = -(a^2-25) = -(a-5)(a+5)$, змінимо знак перед третім дробом і в його знаменнику.

$$ = \frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}+\frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)} = $$

Зведемо дроби до спільного знаменника $(a-5)(a+5)$.

$$ = \frac{a(a+5)-a(a-5)+(a^2+25)}{(a-5)(a+5)} = $$

$$ = \frac{a^2+5a-a^2+5a+a^2+25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a^2+10a+25}{(a-5)(a+5)} = $$

Чисельник є повним квадратом суми: $(a+5)^2$.

$$ = \frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a+5}{a-5} $$

Тепер виконаємо множення. Знаменник другого дробу також є повним квадратом: $a^2+10a+25=(a+5)^2$.

$$ \frac{a+5}{a-5} \cdot \frac{a-5}{a^2+10a+25} = \frac{a+5}{a-5} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} = $$

Скорочуємо спільні множники $(a+5)$ та $(a-5)$.