ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.13

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність $\left(\frac{b}{b+7}+\frac{b^2+49}{b^2-49}-\frac{b}{b-7}\right):\frac{b-7}{b^2+14b+49}=b+7$.

Короткий розв'язок

$\frac{b(b-7)+(b^2+49)-b(b+7)}{b^2-49} : \frac{b-7}{(b+7)^2} = \frac{b^2-14b+49}{b^2-49} \cdot \frac{(b+7)^2}{b-7} = \frac{(b-7)^2}{(b-7)(b+7)} \cdot \frac{(b+7)^2}{b-7} = b+7$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності спростимо її ліву частину. Спочатку виконаємо дії в дужках, звівши дроби до спільного знаменника. Потім виконаємо ділення, попередньо розклавши вирази на множники за допомогою формул скороченого множення.

Перетворимо ліву частину тотожності, виконавши спочатку дії в дужках. Спільний знаменник: $b^2-49=(b-7)(b+7)$.

$$ \frac{b}{b+7}+\frac{b^2+49}{b^2-49}-\frac{b}{b-7} = $$

$$ = \frac{b(b-7) + (b^2+49) - b(b+7)}{(b-7)(b+7)} = $$

$$ = \frac{b^2-7b+b^2+49-b^2-7b}{b^2-49} = \frac{b^2-14b+49}{b^2-49} = $$

Чисельник є повним квадратом різниці: $(b-7)^2$, а знаменник - різницею квадратів.

$$ = \frac{(b-7)^2}{(b-7)(b+7)} = \frac{b-7}{b+7} $$

Тепер виконаємо ділення. Розкладемо на множники знаменник дільника: $b^2+14b+49 = (b+7)^2$.

$$ \frac{b-7}{b+7} : \frac{b-7}{b^2+14b+49} = \frac{b-7}{b+7} \cdot \frac{(b+7)^2}{b-7} = $$

Скорочуємо спільні множники $(b-7)$ та $(b+7)$.

$$ = b+7 $$

Ліва частина дорівнює правій. Тотожність доведено.