До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.14

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) (11−a2−1a2+2a+1):2aa2−1\left(\frac{1}{1-a^2} - \frac{1}{a^2+2a+1}\right) : \frac{2a}{a^2-1};

2) (x+12x−2−x+32x+2+62x2−2)⋅4x2−45\left(\frac{x+1}{2x-2} - \frac{x+3}{2x+2} + \frac{6}{2x^2-2}\right) \cdot \frac{4x^2-4}{5}.

Короткий розв'язок

1) a+1−(1−a)(1−a)(a+1)2:2a(a−1)(a+1)=2a(1−a)(a+1)2⋅−(1−a)(a+1)2a=−1a+1\frac{a+1-(1-a)}{(1-a)(a+1)^2} : \frac{2a}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a}{(1-a)(a+1)^2} \cdot \frac{-(1-a)(a+1)}{2a} = -\frac{1}{a+1}.

2) (x+1)2−(x+3)(x−1)+62(x−1)(x+1)⋅4(x2−1)5=102(x2−1)⋅4(x2−1)5=5x2−1⋅4(x2−1)5=4\frac{(x+1)^2-(x+3)(x-1)+6}{2(x-1)(x+1)} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} = \frac{10}{2(x^2-1)} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} = \frac{5}{x^2-1} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} = 4.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім застосовуємо формули скороченого множення. На завершальному етапі виконуємо множення або ділення дробів.

1) (11−a2−1a2+2a+1):2aa2−1\left(\frac{1}{1-a^2} - \frac{1}{a^2+2a+1}\right) : \frac{2a}{a^2-1}

Спочатку виконаємо дію в дужках. Розкладемо знаменники на множники: 1−a2=(1−a)(1+a)1-a^2=(1-a)(1+a) та a2+2a+1=(a+1)2a^2+2a+1=(a+1)^2.

1(1−a)(1+a)−1(a+1)2= \frac{1}{(1-a)(1+a)} - \frac{1}{(a+1)^2} =

Спільний знаменник: (1−a)(a+1)2(1-a)(a+1)^2.

=1(a+1)−1(1−a)(1−a)(a+1)2=a+1−1+a(1−a)(a+1)2=2a(1−a)(a+1)2 = \frac{1(a+1) - 1(1-a)}{(1-a)(a+1)^2} = \frac{a+1-1+a}{(1-a)(a+1)^2} = \frac{2a}{(1-a)(a+1)^2}

Тепер виконаємо ділення. Розкладемо знаменник дільника: a2−1=(a−1)(a+1)=−(1−a)(a+1)a^2-1=(a-1)(a+1)=-(1-a)(a+1).

2a(1−a)(a+1)2:2a−(1−a)(a+1)= \frac{2a}{(1-a)(a+1)^2} : \frac{2a}{-(1-a)(a+1)} =
=2a(1−a)(a+1)2⋅−(1−a)(a+1)2a= = \frac{2a}{(1-a)(a+1)^2} \cdot \frac{-(1-a)(a+1)}{2a} =

Скорочуємо спільні множники 2a2a, (1−a)(1-a) та (a+1)(a+1).

=−1a+1=−1a+1 = \frac{-1}{a+1} = -\frac{1}{a+1}

2) (x+12x−2−x+32x+2+62x2−2)⋅4x2−45\left(\frac{x+1}{2x-2} - \frac{x+3}{2x+2} + \frac{6}{2x^2-2}\right) \cdot \frac{4x^2-4}{5}

Виконаємо дію в дужках. Розкладемо знаменники на множники: 2x−2=2(x−1)2x-2=2(x-1), 2x+2=2(x+1)2x+2=2(x+1), 2x2−2=2(x2−1)=2(x−1)(x+1)2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1). Спільний знаменник: 2(x−1)(x+1)2(x-1)(x+1).

(x+1)(x+1)−(x+3)(x−1)+62(x−1)(x+1)= \frac{(x+1)(x+1) - (x+3)(x-1) + 6}{2(x-1)(x+1)} =
=(x2+2x+1)−(x2+2x−3)+62(x2−1)= = \frac{(x^2+2x+1) - (x^2+2x-3) + 6}{2(x^2-1)} =
=x2+2x+1−x2−2x+3+62(x2−1)=102(x2−1)=5x2−1 = \frac{x^2+2x+1-x^2-2x+3+6}{2(x^2-1)} = \frac{10}{2(x^2-1)} = \frac{5}{x^2-1}

Тепер виконаємо множення. Розкладемо чисельник другого множника на множники: 4x2−4=4(x2−1)4x^2-4=4(x^2-1).

5x2−1⋅4(x2−1)5= \frac{5}{x^2-1} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} =

Скорочуємо спільні множники 55 та (x2−1)(x^2-1).

=4 = 4