ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.14
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Виконайте дії:
1) $\left(\frac{1}{1-a^2} - \frac{1}{a^2+2a+1}\right) : \frac{2a}{a^2-1}$;
2) $\left(\frac{x+1}{2x-2} - \frac{x+3}{2x+2} + \frac{6}{2x^2-2}\right) \cdot \frac{4x^2-4}{5}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{a+1-(1-a)}{(1-a)(a+1)^2} : \frac{2a}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a}{(1-a)(a+1)^2} \cdot \frac{-(1-a)(a+1)}{2a} = -\frac{1}{a+1}$.
2) $\frac{(x+1)^2-(x+3)(x-1)+6}{2(x-1)(x+1)} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} = \frac{10}{2(x^2-1)} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} = \frac{5}{x^2-1} \cdot \frac{4(x^2-1)}{5} = 4$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника. Потім застосовуємо формули скороченого множення. На завершальному етапі виконуємо множення або ділення дробів.
1) $\left(\frac{1}{1-a^2} - \frac{1}{a^2+2a+1}\right) : \frac{2a}{a^2-1}$
Спочатку виконаємо дію в дужках. Розкладемо знаменники на множники: $1-a^2=(1-a)(1+a)$ та $a^2+2a+1=(a+1)^2$.
Спільний знаменник: $(1-a)(a+1)^2$.
Тепер виконаємо ділення. Розкладемо знаменник дільника: $a^2-1=(a-1)(a+1)=-(1-a)(a+1)$.
Скорочуємо спільні множники $2a$, $(1-a)$ та $(a+1)$.
2) $\left(\frac{x+1}{2x-2} - \frac{x+3}{2x+2} + \frac{6}{2x^2-2}\right) \cdot \frac{4x^2-4}{5}$
Виконаємо дію в дужках. Розкладемо знаменники на множники: $2x-2=2(x-1)$, $2x+2=2(x+1)$, $2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1)$. Спільний знаменник: $2(x-1)(x+1)$.
Тепер виконаємо множення. Розкладемо чисельник другого множника на множники: $4x^2-4=4(x^2-1)$.
Скорочуємо спільні множники $5$ та $(x^2-1)$.
