ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.15
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Виконайте дії:
1) $\left(\frac{1}{4-a^2} - \frac{1}{a^2-4a+4}\right) \cdot \frac{a^2-4}{2a}$;
2) $\left(\frac{a+1}{3a-3} - \frac{a+2}{3a+3} + \frac{21-a}{3a^2-3}\right) : \frac{4}{a^2-1}$.
Короткий розв'язок
1) $\left(\frac{1}{(2-a)(2+a)} - \frac{1}{(a-2)^2}\right) \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{2a} = \frac{-2a}{(a-2)^2(a+2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{2a} = \frac{1}{2-a}$
2) $\frac{(a+1)^2 - (a+2)(a-1) + 21-a}{3(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{4} = \frac{24}{3(a^2-1)} \cdot \frac{a^2-1}{4} = 2$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спершу виконаємо додавання та віднімання дробів у дужках, звівши їх до спільного знаменника. Для цього розкладемо знаменники на множники, використовуючи формули скороченого множення. Потім виконаємо множення або ділення дробів.
1) $\left(\frac{1}{4-a^2} - \frac{1}{a^2-4a+4}\right) \cdot \frac{a^2-4}{2a}$
Спочатку розкладемо на множники знаменники в дужках: $4-a^2 = (2-a)(2+a)$ та $a^2-4a+4 = (a-2)^2$. Для зручності приведемо їх до однакової основи $(a-2)$, винісши мінус: $4-a^2 = -(a^2-4) = -(a-2)(a+2)$.
Зведемо до спільного знаменника, яким є $(a-2)^2(a+2)$:
Тепер виконаємо множення:
Скорочуємо однакові множники: $2a$, $(a+2)$ та один $(a-2)$.
2) $\left(\frac{a+1}{3a-3} - \frac{a+2}{3a+3} + \frac{21-a}{3a^2-3}\right) : \frac{4}{a^2-1}$
Розкладемо на множники знаменники в дужках: $3a-3=3(a-1)$; $3a+3=3(a+1)$; $3a^2-3=3(a^2-1)=3(a-1)(a+1)$.
Спільний знаменник: $3(a-1)(a+1)$. Зведемо дроби до нього.
Розкриємо дужки в чисельнику і зведемо подібні доданки:
Тепер виконаємо ділення, замінивши його множенням на обернений дріб:
