До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.15

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дії:

1) (14−a2−1a2−4a+4)⋅a2−42a\left(\frac{1}{4-a^2} - \frac{1}{a^2-4a+4}\right) \cdot \frac{a^2-4}{2a};

2) (a+13a−3−a+23a+3+21−a3a2−3):4a2−1\left(\frac{a+1}{3a-3} - \frac{a+2}{3a+3} + \frac{21-a}{3a^2-3}\right) : \frac{4}{a^2-1}.

Короткий розв'язок

1) (1(2−a)(2+a)−1(a−2)2)⋅(a−2)(a+2)2a=−2a(a−2)2(a+2)⋅(a−2)(a+2)2a=12−a\left(\frac{1}{(2-a)(2+a)} - \frac{1}{(a-2)^2}\right) \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{2a} = \frac{-2a}{(a-2)^2(a+2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{2a} = \frac{1}{2-a}

2) (a+1)2−(a+2)(a−1)+21−a3(a−1)(a+1)⋅(a−1)(a+1)4=243(a2−1)⋅a2−14=2\frac{(a+1)^2 - (a+2)(a-1) + 21-a}{3(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{4} = \frac{24}{3(a^2-1)} \cdot \frac{a^2-1}{4} = 2

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми спершу виконаємо додавання та віднімання дробів у дужках, звівши їх до спільного знаменника. Для цього розкладемо знаменники на множники, використовуючи формули скороченого множення. Потім виконаємо множення або ділення дробів.

1) (14−a2−1a2−4a+4)⋅a2−42a\left(\frac{1}{4-a^2} - \frac{1}{a^2-4a+4}\right) \cdot \frac{a^2-4}{2a}

Спочатку розкладемо на множники знаменники в дужках: 4−a2=(2−a)(2+a)4-a^2 = (2-a)(2+a) та a2−4a+4=(a−2)2a^2-4a+4 = (a-2)^2. Для зручності приведемо їх до однакової основи (a−2)(a-2), винісши мінус: 4−a2=−(a2−4)=−(a−2)(a+2)4-a^2 = -(a^2-4) = -(a-2)(a+2).

Зведемо до спільного знаменника, яким є (a−2)2(a+2)(a-2)^2(a+2):

1−(a−2)(a+2)−1(a−2)2= \frac{1}{-(a-2)(a+2)} - \frac{1}{(a-2)^2} =
=−1⋅(a−2)(a−2)2(a+2)−1⋅(a+2)(a−2)2(a+2)== \frac{-1 \cdot (a-2)}{(a-2)^2(a+2)} - \frac{1 \cdot (a+2)}{(a-2)^2(a+2)} =
=−(a−2)−(a+2)(a−2)2(a+2)== \frac{-(a-2) - (a+2)}{(a-2)^2(a+2)} =
=−a+2−a−2(a−2)2(a+2)=−2a(a−2)2(a+2)= \frac{-a+2-a-2}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{-2a}{(a-2)^2(a+2)}

Тепер виконаємо множення:

−2a(a−2)2(a+2)⋅a2−42a= \frac{-2a}{(a-2)^2(a+2)} \cdot \frac{a^2-4}{2a} =
=−2a(a−2)2(a+2)⋅(a−2)(a+2)2a== \frac{-2a}{(a-2)^2(a+2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{2a} =

Скорочуємо однакові множники: 2a2a, (a+2)(a+2) та один (a−2)(a-2).

=−1a−2== \frac{-1}{a-2} =
=1−(a−2)=12−a= \frac{1}{-(a-2)} = \frac{1}{2-a}

2) (a+13a−3−a+23a+3+21−a3a2−3):4a2−1\left(\frac{a+1}{3a-3} - \frac{a+2}{3a+3} + \frac{21-a}{3a^2-3}\right) : \frac{4}{a^2-1}

Розкладемо на множники знаменники в дужках: 3a−3=3(a−1)3a-3=3(a-1); 3a+3=3(a+1)3a+3=3(a+1); 3a2−3=3(a2−1)=3(a−1)(a+1)3a^2-3=3(a^2-1)=3(a-1)(a+1).

Спільний знаменник: 3(a−1)(a+1)3(a-1)(a+1). Зведемо дроби до нього.

(a+1)(a+1)3(a−1)(a+1)−(a+2)(a−1)3(a−1)(a+1)+21−a3(a−1)(a+1)= \frac{(a+1)(a+1)}{3(a-1)(a+1)} - \frac{(a+2)(a-1)}{3(a-1)(a+1)} + \frac{21-a}{3(a-1)(a+1)} =

Розкриємо дужки в чисельнику і зведемо подібні доданки:

=(a2+2a+1)−(a2+a−2)+(21−a)3(a−1)(a+1)== \frac{(a^2+2a+1) - (a^2+a-2) + (21-a)}{3(a-1)(a+1)} =
=a2+2a+1−a2−a+2+21−a3(a−1)(a+1)== \frac{a^2+2a+1 - a^2-a+2 + 21-a}{3(a-1)(a+1)} =
=243(a−1)(a+1)=8(a−1)(a+1)= \frac{24}{3(a-1)(a+1)} = \frac{8}{(a-1)(a+1)}

Тепер виконаємо ділення, замінивши його множенням на обернений дріб:

8(a−1)(a+1):4a2−1= \frac{8}{(a-1)(a+1)} : \frac{4}{a^2-1} =
=8(a−1)(a+1)⋅a2−14== \frac{8}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a^2-1}{4} =
=8(a−1)(a+1)⋅(a−1)(a+1)4== \frac{8}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{4} =
=84=2= \frac{8}{4} = 2