ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.16
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть тотожність:
1) $\left(2 - \frac{2a^2 - a}{a^2 - a + 1}\right) : \left(\frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2 - a + 1}\right) = a+1$;
2) $\left(\frac{m-2}{m^2 - 2m + 4} - \frac{6m - 13}{m^3 + 8}\right) \cdot \frac{2m^3 + 16}{18 - 6m} = \frac{3-m}{3}$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{2(a^2-a+1) - (2a^2-a)}{a^2-a+1} : \frac{a^2-a+1 - (a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{2-a}{a^2-a+1} \cdot \frac{a^3+1}{2-a} = a+1$
2) $\frac{(m-2)(m+2) - (6m-13)}{m^3+8} \cdot \frac{2(m^3+8)}{6(3-m)} = \frac{m^2-6m+9}{m^3+8} \cdot \frac{m^3+8}{3(3-m)} = \frac{(m-3)^2}{3(3-m)} = \frac{3-m}{3}$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення її лівої частини і показати, що вона дорівнює правій. Ми будемо послідовно виконувати дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника, використовуючи формули суми кубів та різниці квадратів. Після цього виконаємо множення або ділення дробів.
1) Доведемо, що $\left(2 - \frac{2a^2 - a}{a^2 - a + 1}\right) : \left(\frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2 - a + 1}\right) = a+1$
Виконаємо дію в перших дужках:
Виконаємо дію в других дужках, використавши формулу суми кубів $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$:
Тепер виконаємо ділення результатів:
Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.
2) Доведемо, що $\left(\frac{m-2}{m^2 - 2m + 4} - \frac{6m - 13}{m^3 + 8}\right) \cdot \frac{2m^3 + 16}{18 - 6m} = \frac{3-m}{3}$
Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник $m^3+8=(m+2)(m^2-2m+4)$.
Тепер виконаємо множення, попередньо розклавши на множники другий дріб:
Скорочуємо $2$ і $6$, а також $(m^3+8)$. Також зауважимо, що $(m-3)^2 = (3-m)^2$.
Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.
