До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.16

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність:

1) (2−2a2−aa2−a+1):(1a+1−a−1a2−a+1)=a+1\left(2 - \frac{2a^2 - a}{a^2 - a + 1}\right) : \left(\frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2 - a + 1}\right) = a+1;

2) (m−2m2−2m+4−6m−13m3+8)⋅2m3+1618−6m=3−m3\left(\frac{m-2}{m^2 - 2m + 4} - \frac{6m - 13}{m^3 + 8}\right) \cdot \frac{2m^3 + 16}{18 - 6m} = \frac{3-m}{3}.

Короткий розв'язок

1) 2(a2−a+1)−(2a2−a)a2−a+1:a2−a+1−(a−1)(a+1)(a+1)(a2−a+1)=2−aa2−a+1⋅a3+12−a=a+1\frac{2(a^2-a+1) - (2a^2-a)}{a^2-a+1} : \frac{a^2-a+1 - (a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{2-a}{a^2-a+1} \cdot \frac{a^3+1}{2-a} = a+1

2) (m−2)(m+2)−(6m−13)m3+8⋅2(m3+8)6(3−m)=m2−6m+9m3+8⋅m3+83(3−m)=(m−3)23(3−m)=3−m3\frac{(m-2)(m+2) - (6m-13)}{m^3+8} \cdot \frac{2(m^3+8)}{6(3-m)} = \frac{m^2-6m+9}{m^3+8} \cdot \frac{m^3+8}{3(3-m)} = \frac{(m-3)^2}{3(3-m)} = \frac{3-m}{3}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення її лівої частини і показати, що вона дорівнює правій. Ми будемо послідовно виконувати дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника, використовуючи формули суми кубів та різниці квадратів. Після цього виконаємо множення або ділення дробів.

1) Доведемо, що (2−2a2−aa2−a+1):(1a+1−a−1a2−a+1)=a+1\left(2 - \frac{2a^2 - a}{a^2 - a + 1}\right) : \left(\frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2 - a + 1}\right) = a+1

Виконаємо дію в перших дужках:

2−2a2−aa2−a+1= 2 - \frac{2a^2 - a}{a^2 - a + 1} =
=2(a2−a+1)−(2a2−a)a2−a+1== \frac{2(a^2 - a + 1) - (2a^2 - a)}{a^2 - a + 1} =
=2a2−2a+2−2a2+aa2−a+1=2−aa2−a+1= \frac{2a^2 - 2a + 2 - 2a^2 + a}{a^2 - a + 1} = \frac{2-a}{a^2 - a + 1}

Виконаємо дію в других дужках, використавши формулу суми кубів a3+1=(a+1)(a2−a+1)a^3+1=(a+1)(a^2-a+1):

1a+1−a−1a2−a+1= \frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2 - a + 1} =
=1(a2−a+1)−(a−1)(a+1)(a+1)(a2−a+1)== \frac{1(a^2 - a + 1) - (a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} =
=a2−a+1−(a2−1)a3+1== \frac{a^2 - a + 1 - (a^2-1)}{a^3+1} =
=a2−a+1−a2+1a3+1=2−aa3+1= \frac{a^2 - a + 1 - a^2 + 1}{a^3+1} = \frac{2-a}{a^3+1}

Тепер виконаємо ділення результатів:

2−aa2−a+1:2−aa3+1= \frac{2-a}{a^2 - a + 1} : \frac{2-a}{a^3+1} =
=2−aa2−a+1⋅a3+12−a== \frac{2-a}{a^2 - a + 1} \cdot \frac{a^3+1}{2-a} =
=a3+1a2−a+1=(a+1)(a2−a+1)a2−a+1=a+1= \frac{a^3+1}{a^2 - a + 1} = \frac{(a+1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1} = a+1

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.

2) Доведемо, що (m−2m2−2m+4−6m−13m3+8)⋅2m3+1618−6m=3−m3\left(\frac{m-2}{m^2 - 2m + 4} - \frac{6m - 13}{m^3 + 8}\right) \cdot \frac{2m^3 + 16}{18 - 6m} = \frac{3-m}{3}

Виконаємо дію в дужках. Спільний знаменник m3+8=(m+2)(m2−2m+4)m^3+8=(m+2)(m^2-2m+4).

m−2m2−2m+4−6m−13m3+8= \frac{m-2}{m^2 - 2m + 4} - \frac{6m - 13}{m^3 + 8} =
=(m−2)(m+2)−(6m−13)(m+2)(m2−2m+4)== \frac{(m-2)(m+2) - (6m - 13)}{(m+2)(m^2 - 2m + 4)} =
=m2−4−6m+13m3+8== \frac{m^2-4 - 6m + 13}{m^3+8} =
=m2−6m+9m3+8=(m−3)2m3+8= \frac{m^2-6m+9}{m^3+8} = \frac{(m-3)^2}{m^3+8}

Тепер виконаємо множення, попередньо розклавши на множники другий дріб:

(m−3)2m3+8⋅2m3+1618−6m= \frac{(m-3)^2}{m^3+8} \cdot \frac{2m^3 + 16}{18 - 6m} =
=(m−3)2m3+8⋅2(m3+8)6(3−m)== \frac{(m-3)^2}{m^3+8} \cdot \frac{2(m^3+8)}{6(3-m)} =

Скорочуємо 22 і 66, а також (m3+8)(m^3+8). Також зауважимо, що (m−3)2=(3−m)2(m-3)^2 = (3-m)^2.

=(3−m)21⋅13(3−m)== \frac{(3-m)^2}{1} \cdot \frac{1}{3(3-m)} =
=(3−m)23(3−m)=3−m3= \frac{(3-m)^2}{3(3-m)} = \frac{3-m}{3}

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.