До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.17

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу не залежить від значення змінної:

1) a+216⋅(1a+2+3a−8a2−2a+4−4a−28a3+8)\frac{a+2}{16} \cdot \left(\frac{1}{a+2} + \frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8}\right);

2) (1a+1−3a3+1+3a2−a+1)⋅(a−2a−1a+1)\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right).

Короткий розв'язок

1) a+216⋅a2−2a+4+(3a−8)(a+2)−(4a−28)a3+8=a+216⋅4(a2−2a+4)(a+2)(a2−2a+4)=416=14\frac{a+2}{16} \cdot \frac{a^2-2a+4 + (3a-8)(a+2) - (4a-28)}{a^3+8} = \frac{a+2}{16} \cdot \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

2) a2−a+1−3+3(a+1)a3+1⋅a(a+1)−(2a−1)a+1=(a+1)2a3+1⋅a2−a+1a+1=1\frac{a^2-a+1-3+3(a+1)}{a^3+1} \cdot \frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1} = \frac{(a+1)^2}{a^3+1} \cdot \frac{a^2-a+1}{a+1} = 1

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що значення виразу не залежить від змінної, потрібно спростити його до числового значення. Ми будемо використовувати формули скороченого множення, зокрема суму кубів, для знаходження спільного знаменника, а потім виконаємо дії з раціональними виразами.

1) a+216⋅(1a+2+3a−8a2−2a+4−4a−28a3+8)\frac{a+2}{16} \cdot \left(\frac{1}{a+2} + \frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8}\right)

Спростимо вираз у дужках. Спільним знаменником є a3+8=(a+2)(a2−2a+4)a^3+8 = (a+2)(a^2-2a+4).

1(a2−2a+4)(a+2)(a2−2a+4)+(3a−8)(a+2)(a+2)(a2−2a+4)−4a−28a3+8= \frac{1(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} + \frac{(3a-8)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{4a-28}{a^3+8} =
=a2−2a+4+3a2+6a−8a−16−(4a−28)a3+8== \frac{a^2-2a+4 + 3a^2+6a-8a-16 - (4a-28)}{a^3+8} =
=a2−2a+4+3a2−2a−16−4a+28a3+8== \frac{a^2-2a+4 + 3a^2-2a-16 - 4a+28}{a^3+8} =

Зведемо подібні доданки в чисельнику:

=4a2−8a+16a3+8== \frac{4a^2-8a+16}{a^3+8} =

Винесемо спільний множник 4 за дужки:

=4(a2−2a+4)(a+2)(a2−2a+4)=4a+2= \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{4}{a+2}

Тепер помножимо результат на вираз перед дужками:

a+216⋅4a+2=416=14 \frac{a+2}{16} \cdot \frac{4}{a+2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

Значення виразу дорівнює 1/4 і не залежить від змінної a.

2) (1a+1−3a3+1+3a2−a+1)⋅(a−2a−1a+1)\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right)

Спростимо вираз у перших дужках. Спільний знаменник a3+1=(a+1)(a2−a+1)a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1).

1(a2−a+1)a3+1−3a3+1+3(a+1)a3+1= \frac{1(a^2-a+1)}{a^3+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3(a+1)}{a^3+1} =
=a2−a+1−3+3a+3a3+1== \frac{a^2-a+1 - 3 + 3a+3}{a^3+1} =
=a2+2a+1a3+1=(a+1)2(a+1)(a2−a+1)=a+1a2−a+1= \frac{a^2+2a+1}{a^3+1} = \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a+1}{a^2-a+1}

Тепер спростимо вираз у других дужках:

a−2a−1a+1=a(a+1)−(2a−1)a+1= a - \frac{2a-1}{a+1} = \frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1} =
=a2+a−2a+1a+1=a2−a+1a+1= \frac{a^2+a-2a+1}{a+1} = \frac{a^2-a+1}{a+1}

Перемножимо отримані вирази:

a+1a2−a+1⋅a2−a+1a+1=1 \frac{a+1}{a^2-a+1} \cdot \frac{a^2-a+1}{a+1} = 1

Значення виразу дорівнює 1 і не залежить від змінної a.