ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.17
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу не залежить від значення змінної:
1) $\frac{a+2}{16} \cdot \left(\frac{1}{a+2} + \frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8}\right)$;
2) $\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right)$.
Короткий розв'язок
1) $\frac{a+2}{16} \cdot \frac{a^2-2a+4 + (3a-8)(a+2) - (4a-28)}{a^3+8} = \frac{a+2}{16} \cdot \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
2) $\frac{a^2-a+1-3+3(a+1)}{a^3+1} \cdot \frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1} = \frac{(a+1)^2}{a^3+1} \cdot \frac{a^2-a+1}{a+1} = 1$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести, що значення виразу не залежить від змінної, потрібно спростити його до числового значення. Ми будемо використовувати формули скороченого множення, зокрема суму кубів, для знаходження спільного знаменника, а потім виконаємо дії з раціональними виразами.
1) $\frac{a+2}{16} \cdot \left(\frac{1}{a+2} + \frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8}\right)$
Спростимо вираз у дужках. Спільним знаменником є $a^3+8 = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Зведемо подібні доданки в чисельнику:
Винесемо спільний множник 4 за дужки:
Тепер помножимо результат на вираз перед дужками:
Значення виразу дорівнює 1/4 і не залежить від змінної a.
2) $\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right)$
Спростимо вираз у перших дужках. Спільний знаменник $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$.
Тепер спростимо вираз у других дужках:
Перемножимо отримані вирази:
Значення виразу дорівнює 1 і не залежить від змінної a.
