ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.18

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу $\frac{b-2}{15} \cdot \left(\frac{1}{b-2} + \frac{9b+6}{b^3-8} - \frac{1-2b}{b^2+2b+4}\right)$ від значення змінної не залежить.

Короткий розв'язок

$\frac{b-2}{15} \cdot \frac{b^2+2b+4 + 9b+6 - (1-2b)(b-2)}{b^3-8} = \frac{b-2}{15} \cdot \frac{3(b^2+2b+4)}{(b-2)(b^2+2b+4)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз є константою, необхідно його спростити до числового значення. Для цього ми виконаємо додавання та віднімання дробів у дужках, звівши їх до спільного знаменника за допомогою формули різниці кубів, а потім виконаємо множення.

Спростимо вираз у дужках. Спільний знаменник: $b^3-8 = (b-2)(b^2+2b+4)$.

$$ \frac{1}{b-2} + \frac{9b+6}{b^3-8} - \frac{1-2b}{b^2+2b+4} =$$

$$= \frac{1(b^2+2b+4)}{b^3-8} + \frac{9b+6}{b^3-8} - \frac{(1-2b)(b-2)}{b^3-8} =$$

$$= \frac{b^2+2b+4 + 9b+6 - (b-2-2b^2+4b)}{b^3-8} =$$

Розкриємо дужки в чисельнику та зведемо подібні доданки:

$$= \frac{b^2+11b+10 - (-2b^2+5b-2)}{b^3-8} =$$

$$= \frac{b^2+11b+10 + 2b^2-5b+2}{b^3-8} =$$

$$= \frac{3b^2+6b+12}{b^3-8} =$$

Винесемо спільний множник 3 за дужки:

$$= \frac{3(b^2+2b+4)}{(b-2)(b^2+2b+4)} = \frac{3}{b-2} $$

Тепер виконаємо множення:

$$ \frac{b-2}{15} \cdot \frac{3}{b-2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $$