До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.19

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Подайте у вигляді раціонального дробу:

1) (mn−nm)2\left(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}\right)^2;    2) (a2b−1)2+(a2b+1)2\left(\frac{a^2}{b} - 1\right)^2 + \left(\frac{a^2}{b} + 1\right)^2;

3) (xy2−yx2)2+(xy2+yx2)2\left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}\right)^2;    4) (a+ba+a−bb)2−(a+ba−a−bb)2\left(\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{b}\right)^2 - \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a-b}{b}\right)^2.

Короткий розв'язок

1) (m2−n2mn)2=(m2−n2)2m2n2=m4−2m2n2+n4m2n2\left(\frac{m^2-n^2}{mn}\right)^2 = \frac{(m^2-n^2)^2}{m^2n^2} = \frac{m^4-2m^2n^2+n^4}{m^2n^2}

2) 2((a2b)2+12)=2(a4b2+1)=2(a4+b2)b2=2a4+2b2b22\left(\left(\frac{a^2}{b}\right)^2 + 1^2\right) = 2\left(\frac{a^4}{b^2}+1\right) = \frac{2(a^4+b^2)}{b^2} = \frac{2a^4+2b^2}{b^2}

3) 2((xy2)2+(yx2)2)=2(x2y4+y2x4)=2(x6+y6)x4y42\left(\left(\frac{x}{y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2}\right)^2\right) = 2\left(\frac{x^2}{y^4} + \frac{y^2}{x^4}\right) = \frac{2(x^6+y^6)}{x^4y^4}

4) 4⋅a+ba⋅a−bb=4(a+b)(a−b)ab=4(a2−b2)ab4 \cdot \frac{a+b}{a} \cdot \frac{a-b}{b} = \frac{4(a+b)(a-b)}{ab} = \frac{4(a^2-b^2)}{ab}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми будемо використовувати формули скороченого множення. Зокрема, квадрат різниці, а також тотожності (x−y)2+(x+y)2=2(x2+y2)(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2) та (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2-(x-y)^2=4xy.

1) (mn−nm)2\left(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}\right)^2

Зведемо дроби в дужках до спільного знаменника та застосуємо формулу квадрата різниці.

(m⋅m−n⋅nnm)2=(m2−n2mn)2= \left(\frac{m \cdot m - n \cdot n}{nm}\right)^2 = \left(\frac{m^2-n^2}{mn}\right)^2 =
=(m2−n2)2(mn)2=m4−2m2n2+n4m2n2= \frac{(m^2-n^2)^2}{(mn)^2} = \frac{m^4-2m^2n^2+n^4}{m^2n^2}

2) (a2b−1)2+(a2b+1)2\left(\frac{a^2}{b} - 1\right)^2 + \left(\frac{a^2}{b} + 1\right)^2

Застосуємо тотожність (x−y)2+(x+y)2=2(x2+y2)(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2), де x=a2bx = \frac{a^2}{b}, y=1y = 1.

2((a2b)2+12)=2(a4b2+1)= 2\left(\left(\frac{a^2}{b}\right)^2 + 1^2\right) = 2\left(\frac{a^4}{b^2} + 1\right) =
=2(a4+b2b2)=2a4+2b2b2= 2\left(\frac{a^4+b^2}{b^2}\right) = \frac{2a^4+2b^2}{b^2}

3) (xy2−yx2)2+(xy2+yx2)2\left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}\right)^2

Використаємо ту саму тотожність (x−y)2+(x+y)2=2(x2+y2)(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2), де x=xy2x = \frac{x}{y^2}, y=yx2y = \frac{y}{x^2}.

2((xy2)2+(yx2)2)=2(x2y4+y2x4)= 2\left(\left(\frac{x}{y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2}\right)^2\right) = 2\left(\frac{x^2}{y^4} + \frac{y^2}{x^4}\right) =

Зведемо дроби в дужках до спільного знаменника:

=2(x2⋅x4+y2⋅y4y4x4)=2(x6+y6)x4y4= 2\left(\frac{x^2 \cdot x^4 + y^2 \cdot y^4}{y^4x^4}\right) = \frac{2(x^6+y^6)}{x^4y^4}

4) (a+ba+a−bb)2−(a+ba−a−bb)2\left(\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{b}\right)^2 - \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a-b}{b}\right)^2

Застосуємо тотожність (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2-(x-y)^2=4xy, де x=a+bax = \frac{a+b}{a}, y=a−bby = \frac{a-b}{b}.

4⋅a+ba⋅a−bb= 4 \cdot \frac{a+b}{a} \cdot \frac{a-b}{b} =
=4(a+b)(a−b)ab=4(a2−b2)ab= \frac{4(a+b)(a-b)}{ab} = \frac{4(a^2-b^2)}{ab}