ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.19
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Подайте у вигляді раціонального дробу:
1) $\left(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}\right)^2$; 2) $\left(\frac{a^2}{b} - 1\right)^2 + \left(\frac{a^2}{b} + 1\right)^2$;
3) $\left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}\right)^2$; 4) $\left(\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{b}\right)^2 - \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a-b}{b}\right)^2$.
Короткий розв'язок
1) $\left(\frac{m^2-n^2}{mn}\right)^2 = \frac{(m^2-n^2)^2}{m^2n^2} = \frac{m^4-2m^2n^2+n^4}{m^2n^2}$
2) $2\left(\left(\frac{a^2}{b}\right)^2 + 1^2\right) = 2\left(\frac{a^4}{b^2}+1\right) = \frac{2(a^4+b^2)}{b^2} = \frac{2a^4+2b^2}{b^2}$
3) $2\left(\left(\frac{x}{y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2}\right)^2\right) = 2\left(\frac{x^2}{y^4} + \frac{y^2}{x^4}\right) = \frac{2(x^6+y^6)}{x^4y^4}$
4) $4 \cdot \frac{a+b}{a} \cdot \frac{a-b}{b} = \frac{4(a+b)(a-b)}{ab} = \frac{4(a^2-b^2)}{ab}$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми будемо використовувати формули скороченого множення. Зокрема, квадрат різниці, а також тотожності $(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2)$ та $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$.
1) $\left(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}\right)^2$
Зведемо дроби в дужках до спільного знаменника та застосуємо формулу квадрата різниці.
2) $\left(\frac{a^2}{b} - 1\right)^2 + \left(\frac{a^2}{b} + 1\right)^2$
Застосуємо тотожність $(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2)$, де $x = \frac{a^2}{b}$, $y = 1$.
3) $\left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}\right)^2$
Використаємо ту саму тотожність $(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2)$, де $x = \frac{x}{y^2}$, $y = \frac{y}{x^2}$.
Зведемо дроби в дужках до спільного знаменника:
4) $\left(\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{b}\right)^2 - \left(\frac{a+b}{a} - \frac{a-b}{b}\right)^2$
Застосуємо тотожність $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$, де $x = \frac{a+b}{a}$, $y = \frac{a-b}{b}$.
