ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №40

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

Доведіть, що якщо $n$ - натуральне число, то значення виразу $(2n - 3)(5n - 1) - 2n(5n - 12) + n$ є непарним числом.

Спрощення виразу:

$$(2n - 3)(5n - 1) - 2n(5n - 12) + n =$$

$$= (10n^2 - 17n + 3) - (10n^2 - 24n) + n =$$

$$= 10n^2 - 17n + 3 - 10n^2 + 24n + n = 8n + 3$$

Вираз $8n + 3$ є непарним, оскільки $8n$ — парне, а $3$ — непарне. Сума парного та непарного числа завжди непарна.

Доведення: щоб довести, що значення виразу є непарним числом, спочатку спростимо його, а потім проаналізуємо отриманий результат.

1. Спрощення виразу

Розкриємо дужки:

$$(10n^2 - 2n - 15n + 3) - (10n^2 - 24n) + n$$

Зведемо подібні доданки в перших дужках та розкриємо їх:

$$10n^2 - 17n + 3 - 10n^2 + 24n + n$$

Згрупуємо та зведемо подібні доданки:

$$(10n^2 - 10n^2) + (-17n + 24n + n) + 3 = 8n + 3$$

2. Аналіз результату

Вираз $8n$ завжди буде парним числом для будь-якого натурального $n$, оскільки він є добутком числа 8.
Число $3$ є непарним.
Сума парного числа ($8n$) та непарного числа ($3$) завжди є непарним числом.

Отже, значення виразу $8n + 3$ завжди є непарним числом, що й треба було довести.